Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Real- und Imaginärteil/Aufgabe

Es sei ${}a_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie komplexer Zahlen. Zeige, dass die Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie der Realteile ${}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, und die Familie der Imaginärteile ${}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)}$, ${}j\in J$, summierbar ist. Zeige, das in diesem Fall

${}\sum _{j\in J}a_{j}=(\sum _{j\in J}\operatorname {Re} \,{\left(a_{j}\right)})+{\mathrm {i} }(\sum _{j\in J}\operatorname {Im} \,{\left(a_{j}\right)})\,$

gilt.

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