Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

(mit $m=n-1\geq 0$) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R}$ regulär sei. Wir fassen ${}M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform ${}\tau$ aus Fakt und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ die Beziehung

${}\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi (P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,$

besteht.

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