Fermat-Gleichungen/Erzwingende Algebra/Lokale Kohomologie/Textabschnitt

Beispiel

In

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ ist ${}Z\notin (X,Y)^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung

${}Z=AX+BY\,$

gilt

${}X^{3}+Y^{3}=-Z^{3}=-(AX+BY)^{3}\,$

und daher

${}(1+A^{3})X^{3}+3A^{2}BX^{2}Y+3AB^{2}XY^{2}+(1+B^{3})Y^{3}=0\,$

und die Koeffizienten erzeugen das Einheitsideal in ${}K[A,B]$.

Beispiel

In

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$ ist ${}Z^{2}\notin (X,Y^{2})^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung

${}Z^{2}=AX+BY^{2}\,$

gilt

${}{\left(X^{3}+Y^{3}\right)}^{2}=Z^{6}=(AX+BY^{2})^{3}\,$

und daher

${}X^{6}-A^{3}X^{3}+2X^{3}Y^{3}-3A^{2}BX^{2}Y^{2}-3AB^{2}XY^{4}+(1-B^{3})Y^{6}=0\,.$

Die Koeffizienten zu den minimalen Monomen sind

$A^{3},3A^{2}B,3AB^{2},1-B^{3},$

d.h.

${}{\frac {A^{3}}{XY}},{\frac {A^{2}B}{XY}},{\frac {AB^{2}}{XY}},{\frac {1-B^{3}}{XY}}=0\,.$

Man kann auch mit anderen Monomen wie ${}{\frac {1}{X^{6}Y^{2}}}$ multiplizieren und erhält beispielsweise

${}{\frac {A^{3}}{X^{3}Y^{2}}},{\frac {A^{2}B}{XY^{2}}},{\frac {AB^{2}}{XY^{2}}},{\frac {1-B^{3}}{XY^{m}}}=0\,.$

Ferner hat man (Multiplikation mit ${}{\frac {1}{X^{7}Y}}$ bzw. ${}{\frac {1}{X^{4}Y^{3}}}$)

${\frac {1}{XY}}-{\frac {A^{3}}{X^{4}Y}},$

${\frac {A^{3}}{XY^{3}}}+3{\frac {A^{2}B}{X^{2}Y}},$

${\frac {A^{2}B}{XY^{3}}}+3{\frac {AB^{2}}{X^{2}Y}}$

und

$-{\frac {3AB^{2}}{XY^{3}}}+{\frac {1-B^{3}}{X^{2}Y}}.$