Fermat-Kubik/Projektiv/Disjunkte Geraden/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben die definierende Gleichung als

{}F=X^{3}-Z^{3}+Y^{3}-W^{3}=(X-Z)(X-\zeta Z)(X-\zeta ^{2}Z)+(Y-W)(Y-\zeta W)(Y-\zeta ^{2}W)\,

mit einer dritten Einheitswurzel ${}\zeta$ . Somit sind beispielsweise ${}F\in (X-Z,Y-W)$ und ${}F\in (X-\zeta Z,Y-\zeta W)$ und daher

{}L_{1}=V_{+}(X-Z,Y-W),\,L_{2}=V_{+}(X-\zeta Z,Y-\zeta W)\subseteq V_{+}(F)\,.

Als Durchschnitt von zwei (verschiedenen) projektiven Ebenen sind ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ Geraden. Der Durchschnitt ist

{}{\begin{aligned}L_{1}\cap L_{2}&=V_{+}(X-Z,Y-W),\,L_{2}\cap V_{+}(X-\zeta Z,Y-\zeta W)\\&=V_{+}(X-Z,Y-W,X-\zeta Z,Y-\zeta W)\\&=V_{+}(X-Z,X-\zeta Z,Y-W,Y-\zeta W)\\&=V_{+}(X,Z,Y,W)\\&=\emptyset .\end{aligned}}