Fermatquartik/Modulo 29/Aufgabe/Lösung

Die Einheitengruppe von ist zyklisch der Ordnung , also isomorph zur additiven Gruppe

Daher gibt es neben der noch sieben weitere vierte Potenzen in . Diese sind (wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen)

Eine Dreiersumme mit einer ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als und größer als und nicht . Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir , doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen und , was sich durch eine positive Zahl nicht zu ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen

muss auf jeden Fall die vorkommen. Es ist

und die andere Kombinationen mit nur einer sind größer als . Mit zweimal ist es auch nicht möglich, da nicht zur Liste gehört, und dreimal geht auch nicht.