Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(x^3,y-x^2)/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto \left(u^{\frac {1}{3}},\,v+u^{\frac {2}{3}}\right).$

Die Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}3x^{2}&0\\-2x&1\end{pmatrix}}$

mit der Jacobi-Determinante

$3x^{2}.$

Für die Punkte mit ${}x=0$ liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit ${}x\neq 0$ liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge ${}Q\cap {\left\{(x,y)\mid x=0\right\}}$ hat den Flächeninhalt ${}0$ und das gilt nach Fakt auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit

${}\lambda ^{2}(\varphi (Q))=\int _{Q}3x^{2}d\lambda ^{2}=3\int _{-1}^{3}x^{2}dx\int _{0}^{2}1dy=2x^{3}|_{-1}^{3}=2(27+1)=56\,.$

Zur gelösten Aufgabe