Diffeomorphismus/Transformationsformel/Integralformel für Quader/Fakt

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante ${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}$ für ${}x\in G$. Es sei ${}Q\subseteq G$ ein kompakter achsenparalleler Quader.

Dann gilt

${}\lambda ^{n}(\varphi (Q))=\int _{Q}\vert {(J(\varphi ))(x)}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen