Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Umkehrsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir machen den Ansatz ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ für die Potenzreihe ${}F$ und betrachten die Bedingung ${}F(G)=S$. Dabei muss ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe ${}F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum ${}(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert und ihre Eindeutigkeit nachgewiesen. Für den Koeffizienten ${}c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung

${}{\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an ${}a_{k}$.

Zur bewiesenen Aussage