Formales Ableiten/Rechenregeln/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${}F\mapsto F'$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${}0$.
2. Die Ableitung ist ${}K$-linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${}(FG)'=FG'+F'G\,.$

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