Start
Zufällige Seite
Anmelden
Einstellungen
Spenden
Über Wikiversity
Haftungsausschluss
Suchen
Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt/Beweis
Sprache
Beobachten
Bearbeiten
<
Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt
Beweis
Wir lassen den Vorfaktor in der Fourier-Transformierten weg. Es ist nach dem
Satz von Fubini
∫
R
n
f
g
^
d
λ
n
=
∫
R
n
f
(
u
)
g
^
(
u
)
d
u
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
f
(
u
)
⋅
(
∫
R
n
e
−
i
⟨
u
,
t
⟩
g
(
t
)
d
t
)
d
u
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
×
R
n
e
−
i
⟨
u
,
t
⟩
⋅
f
(
u
)
⋅
g
(
t
)
d
t
d
u
=
1
(
2
π
)
n
/
2
∫
R
n
g
(
t
)
⋅
(
∫
R
n
e
−
i
⟨
u
,
t
⟩
f
(
u
)
d
u
)
d
t
=
∫
R
n
g
(
t
)
⋅
f
^
(
t
)
d
t
=
∫
R
n
f
^
g
d
λ
n
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f{\hat {g}}d\lambda ^{n}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\mathfrak {u}}){\hat {g}}({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\mathfrak {u}})\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\right)}d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\cdot f({\mathfrak {u}})\cdot g({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}d{\mathfrak {u}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\mathfrak {t}})\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {u}}\right)}d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\mathfrak {t}})\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}gd\lambda ^{n}.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage