Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt

Der Satz von Fubini

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$ -endliche Maßräume und sei

f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}

Dann sind die beiden Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

und

N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),

fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

{}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}{\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)}\,d\mu (x)=\int _{N}{\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)}\,d\nu (y)\,