Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung und nach Fakt ist die Funktion integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge gibt mit für . Daher sind nach Fakt für die Integrale definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile und .

Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man durch ersetzen. Wir schreiben

und wenden auf die beiden Summanden Fakt an, so dass dies gleich

ist.