Fourier-Transformation/Translationseigenschaften/Fakt

Für die Fourier-Transformation gelten die folgenden Rechenregeln.

1. Zu ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ und ${}g({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}})e^{{\mathrm {i} }\left\langle v,{\mathfrak {t}}\right\rangle }$ ist

   ${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\hat {f}}({\mathfrak {u}}-v)\,.$

2. Zu ${}g({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}}-v)$ ist

   ${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},v\right\rangle }\,$

3. Zu

   ${}g=f(c{\mathfrak {t}})\,$

   und reelles ${}c\neq 0$ ist

   ${}{\hat {g}}({\mathfrak {u}})={\frac {1}{\vert {c}\vert ^{n}}}{\hat {f}}{\left({\frac {1}{c}}{\mathfrak {u}}\right)}\,$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen