Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Einführung/Textabschnitt

Funktionen sind häufig in bestimmten Punkten nicht definiert, beispielsweise, weil die verwendeten Funktionsterme nicht definiert sind. Es macht aber einen Unterschied, ob nur die gewählte Funktionsvorschrift in diesem Punkt nicht definiert ist, es aber eine sinnvolle (stetige) Fortsetzung gibt, oder ob die Funktion selbst prinzipiell nicht sinnvoll fortsetzbar ist (weil sie beispielsweise einen Pol oder ein chaotischeres Verhalten besitzt). Die folgende Begriffsbildung wird vor allem für die Definition der Differenzierbarkeit wichtig werden (besitzen die Differenzenquotienten einen sinnvollen Limes, der dann der Differentialquotient heißt).

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für jedes ${}x\in T$ aus

${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in ${}T$ gibt, die gegen ${}a$ konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei ${}T=I\setminus \{a\}$. Die Funktion sei auf ${}T$, aber nicht im Punkt ${}a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man ${}f$ zu einer sinnvollen Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${}{\tilde {f}}(a)$ durch ${}f$ bestimmt sein.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}b\in \mathbb {R}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Für eine stetige Funktion ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion ${}{\tilde {f}}\colon T\cup \{a\}\rightarrow \mathbb {R}$ (durch ${}{\tilde {f}}(a)=b$) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von ${}f$ in ${}a$ gleich ${}b$ ist.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es seien ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in T$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}\,.$

Beweis

Dies ergibt sich aus Fakt und aus Fakt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$

wobei ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für ${}x=0$ ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${}{\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann

${}{\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe verwenden, und es ergibt sich insgesamt ${}1/4$.