Funktionenfolge/Summe/Gleichmäßig konvergent/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}f$ bzw. ${}g$ die Grenzfunktionen der beiden Funktionenfolgen. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}{\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz von ${}f_{n}$ gegen ${}f$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ und alle ${}x\in T$ die Abschätzung

${}\vert {f(x)-f_{n}(x)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,$

gilt. Ebenso gilt für ${}n\geq n_{1}$ und ${}x\in T$ die Abschätzung

${}\vert {g(x)-g_{n}(x)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2}}\,.$

Für ${}n\geq {\max {\left(n_{0},n_{1}\right)}}$ gilt daher für alle ${}x\in T$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {f(x)+g(x)-f_{n}(x)-g_{n}(x)}\vert &\leq \vert {f(x)-f_{n}(x)}\vert +\vert {g(x)-g_{n}(x)}\vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Daher konvergiert die Funktionenfolge ${}f_{n}+g_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f+g$.

Zur gelösten Aufgabe