Funktionsfamilie/Weierstraß-Test/Gleichmäßig summierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe und Aufgabe ist für jedes ${}P\in T$ die Familie ${}f_{i}(P)$, ${}i\in I$, summierbar und somit gibt es eine punktweise definierte Summenfunktion ${}f$. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es aufgrund der Cauchy-Eigenschaft eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung ${}\vert {M_{D}}\vert =\sum _{i\in D}M_{i}\leq \epsilon /3$ gilt. Dann ist für diese ${}D$ auch

${}\Vert {f_{D}}\Vert =\Vert {\sum _{i\in D}f_{i}}\Vert \leq \sum _{i\in D}\Vert {f_{i}}\Vert \leq \sum _{i\in D}M_{i}\leq \epsilon /3\,.$

Insbesondere ist

${}\vert {f_{D}(P)}\vert \leq \epsilon /3\,$

und nach dem Beweis zu Fakt ist

${}\vert {f_{E_{0}}(P)-f(P)}\vert \leq 2\epsilon /3\,.$

Somit ist für ${}E_{0}\subseteq E$ und mit ${}D=E\setminus E_{0}$

${}\Vert {f_{E}-f}\Vert =\Vert {f_{E_{0}}+f_{D}-f}\Vert \leq \Vert {f_{E_{0}}-f}\Vert +\Vert {f_{D}}\Vert \leq \epsilon \,.$

Zur bewiesenen Aussage