Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen

Einleitung

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In dieser Lerneiheit werden Dichtefunktionen verwendet, um Zugehörigkeitsfunktionen für Klassen zu generieren. Die Lernressource kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden.

Gliederung

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Diese Lernressource zu Fuzzylogik, Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen gliedert sich in folgende Teilaspekte:

  • (1) aus diskreten Daten stetige Dichtefunktionen zu generieren
  • (2) aus Dichtenfunktionen eine Fuzzy-Klassifikation mit Zugehörigkeitsfunktion für Klassen zu erzeugen.

Lernvoraussetzungen

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Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

Aufgaben für Lernende / Studierende

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Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen werden

  • aus Daten, differenzierbare Dichtefunktionen erzeugt und
  • aus Dichtefunktionen Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen.

Erzeugung von Dichtefunktionen aus Daten

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Aus der Stochastik ist die Cauchy-Verteilung bekannt. Verwenden Sie in einem normierten Raum   die folgende Glockenkurve:

 

Bemerkung zu den Parametern

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  •   ist das Argument, an dem die Glockenkurve   ausgewertet wird.
  •   ist das Zentrum der Glockenkurve  
  •   legt den Funktionswert im Zentrum   der Glockenkurve. Je weiter man sich mit   von dem Zentrum   entfernt, desto betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert  .

Eindimensionaler Fall

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Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt:   im Bild entspricht s in der obigen Gleichung.

Wahrscheinlichkeitsdichte

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Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt:

 

Der Quotient   sorgt für die Normierung des Integrals.


Daten Dichtefunktion

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Die Daten   für die mehrdimensionale Dichtefunktion bestehen aus Datenpunkten der Form  :

 

Die Werte   geben die positive Masse an, die einer Umgebung der Datenpunkte als Eingabenvektoren   zugeordnet wird.

Definition der Dichtefunktion mit Glockenkurven

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Nun definiert man Dichtefunktionen in Anlehnung an die Cauchy-Verteilung mit

 

Beispiel

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Als einführendes Beispiel zum Thema Fuzzylogik, Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen dient dabei der Veranschaulichung der Erzeugung von Dichtefunktionen, über die dann Zugehörigkeitsfunktionen generiert werden.


Von Datenpunkten zu Dichten

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Die folgende Abbildung zeigt 4 Datenpunkte. Für jeden Datenpunkt   wird dann eine Cauchy-Dichte   verwendet, die durch den Punkt   läuft (also  ). Der Graph der einzelnen Cauchy-Dichten   sind grau darstellt. Die gesuchte Dichte (rot) ist die Summe der Cauchydichten,

 

Graph der aggregierten Dichtefunktion

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Bemerkung - Interpolation

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Auch wenn die einzelnen Cauchy-Dichten   Dichtefunktion für   jeweils durch den zugehörigen Datenpunkte laufen, so interpoliert   in der Regel keinen Punkt mehr. Durch das   aus den Datenpunkten   wird weiteren Verlauf der Konstruktion die Masse kodiert, die in der Dichte   durch das Datum   repräsentiert werden soll.

Streuparameter und Glättung der Dichte

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Die folgende Animation zeigt, wie der Streuparemeter   auf die Dichte wirkt. Ein großes   glättet die Dichte.

Animation - Streuparameter s

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Normalisierung der Masse unter der Dichtefunktion

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Die Masse der Dichtefunktion   entspricht in der Regel nicht der Summe der Masseparameter   für die Datenpunkte  .

Berechnung des Integrals über die Dichte

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Daher berechnet man zunächst das Integral von   normalisiert dann die Dichtefunktion zu  :

 

Stammfunktion

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Das uneigentliche Integral kann durch folgende Stammfunktion von   berechnet werden:

 

Normalisierte Dichte

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Mit dem berechneten Integral kann die Masse unter der Kurve auch mit der Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung berechnet werden. Die Dichtefunktion   lautet dann:

 

Damit erhält für das Intergral über die   die aggregierte Masse der  :

 


Bemerkung - Wahrscheinlichkeitsdichte

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Möchte man aus der Dichte eine Wahrscheinlichkeitsdichte   erzeugen, definiert man   wie folgt: lautet dann:

 

Um die Masse durch die   weiterhin in der Dichte zu kodieren, wird im folgenden weiterhin   verwendet.

Definitionsbereich nicht IR

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In bestimmten Fällen macht es Sinn, dass man die Masse der Dichtefunktion bezogen auf eine messbare Teilmenge   einschränkt, wobei für die   alle in   liegen. Die Masseerhaltung in der Dichte wird in diesem Beispiel an einem Intervall veranschaulicht.

Masseerhaltung in der Dichte bei Intervallen

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Wählt man als messbare Teilmenge  , wobei   für alle   gilt, so erhält man als Integral:

 

Normalisierung der Masse

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Ein Normalisierung der Masse für   erfolgt daher mit folgenden Quotienten:

 

Damit erhält man  .

Wahrscheinlichkeitsdichte auf einem Intervall

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Soll aus der Dichtefunktion   durch Normalisierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte   auf   entstehen, erfolgt die Normalisierung analog mit folgenden Koeffizienten:

 

Von Dichten zu Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen

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Mit dem obigen Beispiel wurde bereits eine Dichtefunktion erzeugt, die die Masse der   entweder auf ganz   bzw. auf einem Teilintervall   erhält. Wir nehmen nun an, dass auf diesem Wege zwei masseerhaltende Dichtefunktionen   und   erzeugt wurden.

Positivität und Konvexkombinationen

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Da die Cauchy-Dichten für   die Eigenschaft haben, für alle   positiv zu sein, gilt dies auch für   und  .

Definition der Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen - Beispiel

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Die Definition der Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen erfolgt dann dann durch:

 

Mit der obigen Definition gilt   für alle  .

Fazit - Beispiel

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Insgesamt wurde an dem Beispiel gezeigt, wie man mit Cauchy-Dichten für Daten   masseerhaltende Dichten   erzeugt werden, der Beitrag zur Gesamtmasse der Dichte durch die Datenpunkte   bestimmt wurde und mit den Dichten   eine Zerlegung in Fuzzy-Klassen umgesetzt werden kann.

Mehrdimensionale Cauchy-Dichten

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Für die Verallgemeinerung werden nun Dichtefunktionen generiert, die auf Basis der Cauchy-Dichte auf   definiert werden.

Zweidimensionaler Grundraum für Daten

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Die Daten   für die zweidimensionalen Grundraum für die bestehen aus Datenpunkten der Form  :

 

Die Werte   sind positive Wichtungen der Datenpunkte der Eingabenvektoren  .

Definition der Dichtefunktion mit Cauchy-Dichten

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Im   ergibt sich für die grundlegenden Cauchy-Dichtefunktionen in Anlehnung an die Cauchy-Verteilung folgende Darstellung:

 

Aggregierte Dichtefunktion 1

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Die folgende Dichtefunktion wurde mit 3 Datenpunkte der Form   mit  , Die unterschiedlichen Massen   an den Stellen   ist an der unterschiedlichen Höhe der Dichtefunktionen ersichtlich

Graph - aggregierte Dichtefunktion 1

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Aggregierte Dichtefunktion 2

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Die zweite Dichtefunktion wurde mit 4 Datenpunkte der Form  , wobei wieder der Umgebung von   die Masse   zugeordnet wird. Einige Datenpunkte liegen am Rand des geplotteten Bereiches.

Graph - aggregierte Dichtefunktion 2

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Aufgabe - zweidimensionale Dichten

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Erzeugen Sie selbst zwei Dichtefunktionen in Maxima CAS oder mit CAS4Wiki und generieren Sie daraus eine Zerlegung des Grundraumes   in zwei Fuzzy-Klassen.

Verallgemeinerung von positiven Dichtefunktionen

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Für die Allgemeinerung betrachtet man nun mehrdimensionale Dichten[1] und schränkt die gegebenen Dichtefunktionen nicht mehr auf die Erzeugung durch Cauchy-Dichten ein. Ausgangspunkt für die Erzeugung von Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen könnten daher auf Funktionen der Form:

 

Die Funktion   ist positiv auf ganz  

Graph der Dichtefunktion

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Aufgabe - zweidimensionale Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen

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Erzeugen Sie analog zum eindimensionalen Beispiel mit 3 zweidimensionalen Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen, wobei 1 bzw. 2 Dichtefunktionen über Cauchy-Dichten erzeugt wurden und eine Dichte mit der obigen trigonometrischen Dichtefunktion erzeugt wurde. Plotten Sie dann die Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen.


Literatur/Quellennachweise

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  1. Roth, Z. E., & Baram, Y. (1996). Multidimensional density shaping by sigmoids. IEEE Transactions on Neural Networks, 7(5), 1291-1298.

Siehe auch

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Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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