Glockenkurve

Einleitung

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Abbildung Glocke

Teilaspekte

In dieser Lerneinheit werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) geometrische Eigenschaften der Glocke
(2) mathematische Definition der Glockenkurveneigenschaften
(3) unterschiedliche Funktionen, die die Glockenkurveneigenschaften besitzen (siehe Normalverteilung und die Geschichte von Glockenkurven^[1]

Glockenkurve - eindimensional Definitionsbereich

Beispiele für Glockenkurven mit eindimensionalem Definitionsbereich sind:

Dichtefunktion der Normalverteilung
Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Dichtefunktion der Normalverteilung

Eine der bekanntesten Glockenkurven mit eindimensionalen Definitionsbereich ist Dichtefunktion der Normalverteilung (bell curve).

Dichtefunktion der Normalverteilung

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Auch die Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung ist eine Glockenkurve mit eindimensionalem Funktionsbereich. Begründen Sie, warum $h:={\frac {1}{\pi \cdot s}}$ für die Cauchy-Verteilung gewählt werden muss (Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung).

Aufgabe für Studierende

Plotten Sie den Funktionsterm mit der OpenSource-Software Geogebra

f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}

Dabei sollen die Variablen $h,\mu ,\sigma$ mit $\sigma >0$ Schieberegler sein.

Definition - Glockenfunktion

Sei $(V,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein topologischer Vektorraum über dem Körper $\mathbb {R}$ und $\alpha \in {\mathcal {A}}$ . Eine stetige Abbildung $f\colon V\to \mathbb {R}$ heißt $\alpha$ -Glockenfunktion auf $V$ , wenn es ein $z_{o}\in V$ gibt mit:

(G1-Peak) $f(v)\leq f(z_{o})$ für alle $v\in V$ ,
(G2-Symmetrie) $f(z_{o}+v)=f(z_{o}-v)$ und
(G3-Unbeschränkte Folgen) für Folgen $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}:\,\lim _{n\to \infty }\|v_{n}\|_{\alpha }=+\infty$ folgt $\lim _{n\to \infty }f(v_{n})=0$

Aufgabe für Studierende - Eigenschaften

Als Grundraum ist der normierte Vektorraum der reellen Zahlen mit dem Betrag $|\cdot |$ als Gaugefunktional (Norm) gegeben. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion die Eigenschaften (G1),(G2) und (G3) erfüllt.

f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}

Bemerkung - Länge von Vektoren

Gaugefunktionale sind Messinstrumenten auf topologischen Vektorräumen, die den Vektoren $v\in V$ eine Art Länge $\|v\|_{\alpha }$ zuordnen. Gaugefunktionale sind absolut homogene Funktionale, die allerdings die Dreiecksungleichung nicht notwendigerweise erfüllen. Die Bedingung (G3) beschreibt, wie sich die Funktionswert für $\alpha$ -unbeschränkte Folgen in $V$ verhalten.

Beschränkte Mengen

Für eine $\alpha$ -beschränkte Menge $M$ in einem topologischen Vektoraum gilt nach Definition:

\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{C_{\alpha }>0}\forall _{v\in M}:\,\|v\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }

Unbeschränkte Mengen

Durch Negation der obigen Definition erhält man die Definition von einer $\alpha$ -unbeschränkten Mengen $M$ mit:

\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{C_{\alpha }>0}\exists _{v\in M}:\,\|v\|_{\alpha }>C_{\alpha }

Unbeschränkte Mengen

Ohne Einschränkung kann man die Aussage für $C_{\alpha }:=n\in \mathbb {N}$ formulieren:

\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{v_{n}\in M}:\,\|v_{n}\|_{\alpha }>n

bzw.

\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in M^{\mathbb {N} }}:\,\lim _{n\to \infty }\|v_{n}\|_{\alpha }=+\infty

Bemerkungen zur Definition

(Zentrum) Eine Glockenfunktion besitzt ein Zentrum $z_{o}\in V$ in Definitionsbereich der Glockenfunktion
(G1-Peak) beschreibt mit $f(v)\leq f(z_{o})$ für alle $v\in V$ , dass die Glockenfunktion in $z_{o}\in V$ ein absolutes Maximum annimmt.
(G2-Symmetrie) Die Bedingung $f(z_{o}+v)=f(z_{o}-v)$ beschreibt, dass die Glockenfunktion $f$ bezogen auf das Zentrum $z_{o}\in V$ punktsymmetrische Funktionswerte besitzt.
(G3-Unbeschränkte Folgen) beschreibt, dass der Funktionswert verschwindet (gegen 0 konvergiert), wenn alle mit den Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ gemessenen Längen einer Folge bzw. Netzes gegen $\infty$ konvergiert.

Beispiele

Die folgenden Beispiele behandeln Glockenfunktionen auf unterschiedlichen Typen von Vektorräumen.

eindimensional,
n-dimensional und
$\infty$ -dimensional

Eindimensionale Vektorräume

Die Normalverteilung hat als Dichtefunktion eine eindimensionale Glockenfunktion (genannt Gaußsche Glockenkurve). Diese besitzt die obige Eigenschaften (G1), (G2) und (G3) auf dem eindimensionalen topologischen Vektorraum $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ besitzt.

Normalverteilung - Dichtefunktionen

Bemerkung zur Abbildung

In der obigen Abbildung ist das Zentrum der Glockenfunktion $z:=\mu$ der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Je geringer die Varianz $\sigma ^{2}>0$ ist, desto größer ist das Maximum $f(z)$ der Dichtefunktion $f$ über $z=\mu$ . $f(z)$ kann im Gegensatz zum Wahrscheinlichkeitsmaß Werte größer als 1 annehmen.

Zweidimensionaler Vektorraum

Sei $(\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|)$ der zweidimensionale $\mathbb {R}$ mit der euklischen Norm $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ . Mit $x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ , $\mu =(\mu _{1},\mu _{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ , $h\in mathbb{R}$ und $s>0$ ist die folgende Funktion eine Glockenkurve:

f(x):={\frac {h}{1+\left({\frac {\|x-\mu \|^{2}}{\sigma }}\right)^{2}}}

Unendlichdimensionaler Vektorraum

Konstruieren Sie eine Glockenkurve auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen mit einem Halbnormensystem Ihrer Wahl.

Aufgaben für Studierende

Weisen Sie nach, dass die Normalverteilung die Eigenschaften einer Glockenkurve (Glockenfunktion) auf $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ besitzt.

Literatur/Quellennachweise

↑ Fendler, L., & Muzaffar, I. (2008). The history of the bell curve: Sorting and the idea of normal. Educational Theory, 58(1), 63-82.

Siehe auch

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[1] Fendler, L., & Muzaffar, I. (2008). The history of the bell curve: Sorting and the idea of normal. Educational Theory, 58(1), 63-82.

[1]