Einleitung

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Diese Seite zum Thema Momente kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

  • (1) Definition von Momenten
  • (2) Erwartungswert
  • (3) Varianz

Motivation - Erwartungswert

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Vorbemerkung: Zwei Personen   und   vereinbaren ein Würfelspiel.

  • Ausgang '1':   zahlt an   5€
  • Ausgang '2', ..., '6':   zahlt an   1€

Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von  :

 

("faires Spiel").

Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße

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In der obigen Gleichung

 

setzen sich die einzelnen Terme (z.B.  ) aus dem Wert der Zufallsgröße   und der Wahrscheinlichkeit   für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen.

Definition - Erwartungswert

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Sei   eine auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum   definierte Zufallsvariable, dann heißt

 

Erwartungswert von  , vorausgesetzt, dass  .

Bemerkung - Anzahl Summanden

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Die Zufallsgröße   nimmt nur zwei Werte an, nämlich   für   und   für  . Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da  .

Bemerkung - Notation zum Beispiel

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Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren:

 

Bemerkung - Erwartungswert

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Die Reihe   hat nur abzählbar viele Elemente   mit  . Mit   ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle   und   werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht.

Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen

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Bezeichnet   die Wahrscheinlichkeitsfunktion von   auf  , so gilt für eine auf   definierte Zufallsvariable  :

 

(sofern  ).

Es ist

 

Bemerkung zum Beweis

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In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da   gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist.

Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes

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Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man:

  •   besitzt einen Erwartungswert, oder
  • der Erwartungswert von   existiert.

  besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls  .

Endlicher Ergebnisraum

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Dies ist bei endlichen   immer der Fall.


Schreibweise

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Statt   auch   oder  , wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß   der Erwartungswert berechnet wurde.

Elementare Folgerungen

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Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt:  , falls   für alle   gilt.

Beispiel

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Ist  , und ist   die Gleichverteilung auf  , so lautet der Erwartungswert

  ("arithmetisches Mittel").

(Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.)

Beispiel

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Für die Indikatorvariable   eines Ereignisses   gilt:

 

Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz.

Satz - Linearität des Erwartungswertes

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Besitzen die Zufallsvariablen   Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen  , und es gilt:

  ("Linearität")

Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes

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Für ein  -verteiltes   gilt:

 


Beweismöglichkeiten
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1.  

2. Für die Binominalverteilung gilt   mit  . Dann ist

  (wg. Linearität).

Der Erwartungswert von Funktionen   einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt.

Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen

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Ist   Zufallsgröße auf   und   eine Abbildung, dann gilt

 

(Falls die Reihe absolut konvergiert).

 
 

(Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Beispiele

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Gemäß der Behauptung gilt z.B.

Mit   erhält man  
Mit   erhält man  

usw.

Bemerkung

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Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als   schreiben.
In der Tat,   ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf   und   wird als Zufallsvariable auf   aufgefasst:

 

Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen

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Die Zufallsvariablen   mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch   einen Erwartungswert und es gilt

 

Beweis (i.1)

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Zur Existenz von  :

 
 
 

Beweis (i.2)

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(Reihe links oben also absolut konvergent.)

Beweis (ii)

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Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert:

 
 
 

Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)).

Bemerkung

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1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen   mit existierenden Erwartungswerten:

 

2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus   nicht notwendigerweise  .

Bedingter Erwartungswert (Definition)

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Sei   diskreter Wahrscheinlichkeitsraum,   Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und   mit  . Dann heißt

 

der bedingte Erwartungswert von   unter (der Bedingung)  .
[   ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf   unter  .]

Formeln zu Berechnung

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Bemerkungen

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  • Da   absolut konvergiert, so auch  ; also existiert  .
  • Spezialfälle:  
  • Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art  ,   Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden).

In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert   als Spezialfall von Momenten   betrachtet, die im Folgenden definiert werden.

Definition - Momente

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Es sei   eine Zufallsvariable und   eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung   von   oder kürzer als  -tes Moment von   den Erwartungswert der  ‑ten Potenz von   (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):

 

und als  -tes absolutes Moment von   wird der Erwartungswert der  -ten Potenz des Absolutbetrages   von   bezeichnet:

 

Bemerkung - nichtganzzahlige Momente

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In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung   betrachtet.

Bemerkung - Existenz von Momenten

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Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.


Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung

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Das erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit   bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.

Siehe auch

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Seiteninformation

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