Momente
Einleitung
BearbeitenDiese Seite zum Thema Momente kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
- (1) Definition von Momenten
- (2) Erwartungswert
- (3) Varianz
Motivation - Erwartungswert
BearbeitenVorbemerkung: Zwei Personen und vereinbaren ein Würfelspiel.
- Ausgang '1': zahlt an 5€
- Ausgang '2', ..., '6': zahlt an 1€
Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von :
("faires Spiel").
Bemerkung - Wahrscheinlichkeit und Wert der Zufallsgröße
BearbeitenIn der obigen Gleichung
setzen sich die einzelnen Terme (z.B. ) aus dem Wert der Zufallsgröße und der Wahrscheinlichkeit für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen.
Definition - Erwartungswert
BearbeitenSei eine auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum definierte Zufallsvariable, dann heißt
Erwartungswert von , vorausgesetzt, dass .
Bemerkung - Anzahl Summanden
BearbeitenDie Zufallsgröße nimmt nur zwei Werte an, nämlich für und für . Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da .
Bemerkung - Notation zum Beispiel
BearbeitenMöchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren:
Bemerkung - Erwartungswert
BearbeitenDie Reihe hat nur abzählbar viele Elemente mit . Mit ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle und werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht.
Satz - Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen
BearbeitenBezeichnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion von auf , so gilt für eine auf definierte Zufallsvariable :
(sofern ).
Beweis
BearbeitenEs ist
Bemerkung zum Beweis
BearbeitenIn den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist.
Bemerkungen - Existenz Erwartungeswertes
BearbeitenIm Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man:
- besitzt einen Erwartungswert, oder
- der Erwartungswert von existiert.
besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls .
Endlicher Ergebnisraum
BearbeitenDies ist bei endlichen immer der Fall.
Schreibweise
BearbeitenStatt auch oder , wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß der Erwartungswert berechnet wurde.
Elementare Folgerungen
BearbeitenAus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: , falls für alle gilt.
Beispiel
BearbeitenIst , und ist die Gleichverteilung auf , so lautet der Erwartungswert
- ("arithmetisches Mittel").
(Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.)
Beispiel
BearbeitenFür die Indikatorvariable eines Ereignisses gilt:
Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz.
Satz - Linearität des Erwartungswertes
BearbeitenBesitzen die Zufallsvariablen Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen , und es gilt:
- ("Linearität")
Anwendungsbeispiel für die Linearität des Erwartungswertes
BearbeitenFür ein -verteiltes gilt:
Beweismöglichkeiten
Bearbeiten1.
2. Für die Binominalverteilung gilt mit . Dann ist
- (wg. Linearität).
Der Erwartungswert von Funktionen einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt.
Satz - Verkettung von messbaren Abbildungen
BearbeitenIst Zufallsgröße auf und eine Abbildung, dann gilt
(Falls die Reihe absolut konvergiert).
Beweis
Bearbeiten(Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)
Beispiele
BearbeitenGemäß der Behauptung gilt z.B.
- Mit erhält man
- Mit erhält man
usw.
Bemerkung
BearbeitenDie rechte Seite der Behauptung kann man auch als schreiben.
In der Tat, ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf und wird als Zufallsvariable auf aufgefasst:
Satz - Multipkikation von unabhängigen Zufallsgrößen
BearbeitenDie Zufallsvariablen mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch einen Erwartungswert und es gilt
Beweis (i.1)
BearbeitenZur Existenz von :
Beweis (i.2)
Bearbeiten(Reihe links oben also absolut konvergent.)
Beweis (ii)
BearbeitenDie gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert:
Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)).
Bemerkung
Bearbeiten1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen mit existierenden Erwartungswerten:
2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus nicht notwendigerweise .
Bedingter Erwartungswert (Definition)
BearbeitenSei diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und mit . Dann heißt
der bedingte Erwartungswert von unter (der Bedingung) .
[ ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf unter .]
Formeln zu Berechnung
BearbeitenBemerkungen
Bearbeiten- Da absolut konvergiert, so auch ; also existiert .
- Spezialfälle:
- Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art , Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden).
Momente
BearbeitenIn dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert als Spezialfall von Momenten betrachtet, die im Folgenden definiert werden.
Definition - Momente
BearbeitenEs sei eine Zufallsvariable und eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung von oder kürzer als -tes Moment von den Erwartungswert der ‑ten Potenz von (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):
und als -tes absolutes Moment von wird der Erwartungswert der -ten Potenz des Absolutbetrages von bezeichnet:
Bemerkung - nichtganzzahlige Momente
BearbeitenIn theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung betrachtet.
Bemerkung - Existenz von Momenten
BearbeitenDie Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.
Bemerkung - Erwartungswert als Moment 1. Ordnung
BearbeitenDas erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.
Siehe auch
BearbeitenSeiteninformation
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