Einführung

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Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen   und  .

Definition - Kovarianz

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Für Zufallsvariablen   und   auf   mit   definiert

 

die Kovarianz von   und  

Definition - Korrelationskoeffizienten

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Für Zufallsvariablen   und   auf   mit   definiert

 

(sofern  ) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von   und  , welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert.

Definition - unkorrelliert

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Zwei Zufallsvariablen   und   auf   mit   heißen unkorreliert, falls  .

Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient

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Zum Studium der Größen   und   benötien wir den folgenden Satz.

Satz - Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

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Für die Zufallsvariablen   mit   gilt:

i)  

ii) Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung:

 

iii) Das Gleichheitszeichen in ii) gilt genau dann, wenn es Zahlen   gibt mit   und

  (  fast überall lin. abh.).

Beweis (1 + 2)

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1. Aus der Ungleichung   folgt  , d.i. i).

2. Sei  . Dann ist nach 2.2 i)   für alle   mit   und es gilt   und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit  ).

Beweis (3)

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3. Sei  . Zunächst gilt für ein beliebiges  :

(*)  

Einsetzten von   liefert:

 

oder

  d.h. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis (4)

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Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt:

(**)  

Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit  . Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**).

Folgerungen (1)

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1. Aus

(+)  

folgt also die Existenz des Erwartungswertes von  :  .

Im Fall der Unabhängigkeit der   benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur  .

Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz ( ). In der Tat, in der Formel

(++)  

existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte.

Folgerungen (2 - 3)

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2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel":

 

3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung   ein (anstatt  ), so erhält man

 

d.h. es gilt  .

Folgerungen (4)

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4.   genau dann, wenn

 

für alle   mit  .

Interpretation:   ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von   und  .

Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)

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Sei   vorausgesetzt.

a)  

Insbesondere:

 

für  ,  

b)  

Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2)

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c)  

Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h.  , für  )   die "Formel von Bienaymé":

 

d)   unabhängig   unkorreliert.

Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass  . Dann gilt:

 
 

Zu d):   unabhängig   (Verschiebungsformel).

Siehe auch

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