Kurs:Stochastik/Kovarianz
Einführung
BearbeitenBetrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen und .
Definition - Kovarianz
BearbeitenFür Zufallsvariablen und auf mit definiert
die Kovarianz von und
Definition - Korrelationskoeffizienten
BearbeitenFür Zufallsvariablen und auf mit definiert
(sofern ) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von und , welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert.
Definition - unkorrelliert
BearbeitenZwei Zufallsvariablen und auf mit heißen unkorreliert, falls .
Bemerkung - Kovarianz und Korrelationskoeffizient
BearbeitenZum Studium der Größen und benötien wir den folgenden Satz.
Satz - Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
BearbeitenFür die Zufallsvariablen mit gilt:
i)
ii) Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung:
iii) Das Gleichheitszeichen in ii) gilt genau dann, wenn es Zahlen gibt mit und
- ( fast überall lin. abh.).
Beweis (1 + 2)
Bearbeiten1. Aus der Ungleichung folgt , d.i. i).
2. Sei . Dann ist nach 2.2 i) für alle mit und es gilt und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit ).
Beweis (3)
Bearbeiten3. Sei . Zunächst gilt für ein beliebiges :
(*)
Einsetzten von liefert:
oder
- d.h. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Beweis (4)
BearbeitenHier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt:
(**)
Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit . Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**).
Folgerungen (1)
Bearbeiten1. Aus
(+)
folgt also die Existenz des Erwartungswertes von : .
Im Fall der Unabhängigkeit der benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur .
Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz ( ). In der Tat, in der Formel
(++)
existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte.
Folgerungen (2 - 3)
Bearbeiten2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel":
3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ein (anstatt ), so erhält man
d.h. es gilt .
Folgerungen (4)
Bearbeiten4. genau dann, wenn
für alle mit .
Interpretation: ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von und .
Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (1)
BearbeitenSei vorausgesetzt.
a)
Insbesondere:
für ,
b)
Eigenschaften der Varianz und Kovarianz (2)
Bearbeitenc)
Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. , für ) die "Formel von Bienaymé":
d) unabhängig unkorreliert.
Beweis
BearbeitenZu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass . Dann gilt:
Zu d): unabhängig (Verschiebungsformel).
Siehe auch
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