Der Erwartungswert   dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung   von  . Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung  .

Definition - Varianz, Standardabweichung

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Ist   Zufallsvariable auf   und ist  , so heißt   Varianz von  , und   Standardabweichung von  . Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i).

i) Falls  , so auch  , für alle  .

ii) Es gilt   und   genau dann, wenn   und  ,   fast überall.

i) Wegen   gilt

 

Wegen   gilt

 

ii) Die Darstellung  , bzw. Formel 2 zur Varianz.

Aufgaben

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  • Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
  • Betrachten Sie die Cauchy-Verteilung und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert.

Formeln zur Varianz von X

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  •  
  •  
  •  
denn:  
(allgemein:   liefert die untere Gleichung.)
  für  

Bemerkung

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1. Denkt man sich   als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht   dem Schwerpunkt und   dem Trägheitsmoment.

2. Ist   eine Zufallsvariable mit  , so gilt für die sogenannte Standardisierte von  , d.i.  ,  .

Beispiel

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  Gleichverteilung auf  . Dann ist:
 
 
 


Siehe auch

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