Der Erwartungswert dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung von . Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung .
Definition - Varianz, Standardabweichung
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Ist Zufallsvariable auf und ist , so heißt Varianz von , und Standardabweichung von . Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i).
i) Falls , so auch , für alle .
ii) Es gilt und genau dann, wenn und , fast überall.
i) Wegen gilt
-
Wegen gilt
-
ii) Die Darstellung , bzw. Formel 2 zur Varianz.
- Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
- Betrachten Sie die Cauchy-Verteilung und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert.
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- denn:
- (allgemein: liefert die untere Gleichung.)
- für
1. Denkt man sich als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht dem Schwerpunkt und dem Trägheitsmoment.
2. Ist eine Zufallsvariable mit , so gilt für die sogenannte Standardisierte von , d.i. , .
- Gleichverteilung auf . Dann ist:
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-
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