Erzeugende Funktionen nützen bei der Berechnung von
Momenten ,Faltung,
Grenzwerten von Wahrscheinlichkeiten Ist
X
{\displaystyle X}
(
Ω
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,P)}
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
G
X
(
s
)
=
G
P
X
(
s
)
=
∑
k
=
0
∞
s
k
P
X
{
k
}
,
0
≤
s
≤
1
{\displaystyle G_{X}(s)=G_{P_{X}}(s)=\sum _{k=0}^{\infty }s^{k}P_{X}\lbrace k\rbrace ,0\leq s\leq 1}
die erzeugende Funktion von
X
{\displaystyle X}
P
X
{\displaystyle P_{X}}
Wegen
∑
k
=
0
∞
P
{
k
}
=
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P\lbrace k\rbrace =1}
G
X
{\displaystyle G_{X}}
≥
1
{\displaystyle \geq 1}
G
X
{\displaystyle G_{X}}
[
0
,
1
]
∖
{
1
}
{\displaystyle [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }
1. Wegen
d
n
d
s
n
G
X
|
s
=
0
=
n
!
P
X
{
n
}
,
n
∈
Z
+
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{ds^{n}}}G_{X}|_{s=0}=n!P_{X}\lbrace n\rbrace ,n\in \mathbb {Z} _{+}}
P
X
→
G
X
(
s
)
{\displaystyle P_{X}\to G_{X}(s)}
2. Man beachte auch die folgende Schreibweise:
G
X
(
s
)
=
E
X
2
{\displaystyle G_{X}(s)=EX^{2}}
3. Für unabhängige Zufallsvariablen
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
G
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
s
)
=
E
s
X
1
⋅
.
.
.
⋅
s
X
n
=
E
s
X
1
⋅
.
.
.
⋅
E
s
X
n
=
G
X
1
(
s
)
⋅
.
.
.
⋅
G
X
n
(
s
)
{\displaystyle G_{X_{1},...,X_{n}}(s)=Es^{X_{1}}\cdot ...\cdot s^{X_{n}}=Es^{X_{1}}\cdot ...\cdot Es^{X_{n}}=G_{X_{1}}(s)\cdot ...\cdot G_{X_{n}}(s)}
Sei
X
{\displaystyle X}
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
a) Der (linksseitige) Grenzwert
G
X
′
(
1
−
)
=
l
i
m
s
↑
1
G
′
(
s
)
{\displaystyle G'_{X}(1-)={lim}_{s\uparrow 1}G'(s)}
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)}
E
(
X
)
=
G
′
(
1
−
)
{\displaystyle E(X)=G'(1-)}
b) Es existiere
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)}
G
″
(
1
−
)
{\displaystyle G''(1-)}
E
(
X
2
)
{\displaystyle E(X^{2})}
V
a
r
(
X
)
=
G
″
X
(
1
−
)
+
G
X
′
(
1
−
)
−
(
G
X
′
(
1
−
)
)
2
{\displaystyle Var(X)={G''}_{X}(1-)+G'_{X}(1-)-(G'_{X}(1-))^{2}}
a) Zunächst gilt für
s
∈
[
0
,
1
]
∖
{
1
}
{\displaystyle s\in [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }
G
X
′
(
s
)
=
∑
k
=
1
∞
k
s
k
−
1
P
X
{
k
}
{\displaystyle G'_{X}(s)=\sum _{k=1}^{\infty }ks^{k-1}P_{X}\lbrace k\rbrace }
i) Sei
E
(
X
)
<
∞
{\displaystyle E(X)<\infty }
G
X
′
(
s
)
≤
∑
k
=
1
∞
k
P
x
{
k
}
=
E
(
X
)
<
∞
{\displaystyle G'_{X}(s)\leq \sum _{k=1}^{\infty }kP_{x}\lbrace k\rbrace =E(X)<\infty }
Also auch
l
i
m
s
↑
1
G
X
′
(
s
)
≡
G
X
′
(
1
−
)
≤
E
(
X
)
.
{\displaystyle {lim}_{s\uparrow 1}G'_{X}(s)\equiv G'_{X}(1-)\leq E(X).}
ii) Sei
G
X
′
(
1
−
)
<
∞
{\displaystyle G'_{X}(1-)<\infty }
s
∈
[
0
,
1
]
∖
{
1
}
{\displaystyle s\in [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }
∑
k
=
1
∞
k
s
k
−
1
P
X
{
k
}
≤
G
X
′
(
s
)
≤
l
i
m
n
↑
1
G
X
′
(
n
)
=
G
X
′
(
1
−
)
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }ks^{k-1}P_{X}\lbrace k\rbrace \leq G'_{X}(s)\leq {lim}_{n\uparrow 1}G_{X}'(n)=G'_{X}(1-)<\infty }
Also auch beliebige
s
↑
1
{\displaystyle s\uparrow 1}
∑
k
=
1
∞
k
s
k
−
1
P
X
{
k
}
≤
G
X
′
(
1
−
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }ks^{k-1}P_{X}\lbrace k\rbrace \leq G'_{X}(1-)}
und bei
n
↑
∞
{\displaystyle n\uparrow \infty }
E
(
X
)
≤
G
X
′
(
1
−
)
<
∞
{\displaystyle E(X)\leq G'_{X}(1-)<\infty }
Aus i) und ii) ferner:
G
X
′
(
1
−
)
≤
E
(
X
)
≤
G
X
′
(
1
−
)
{\displaystyle G'_{X}(1-)\leq E(X)\leq G'_{X}(1-)}
b) Vorbemerkung:
E
(
X
2
)
<
∞
{\displaystyle E(X^{2})<\infty }
E
(
X
(
X
−
1
)
)
<
∞
.
{\displaystyle E(X(X-1))<\infty .}
Ausgehend von
G
X
″
(
s
)
=
∑
k
=
2
∞
k
(
k
−
1
)
s
k
−
2
P
X
{
k
}
,
s
∈
[
0
,
1
]
∖
{
1
}
{\displaystyle G''_{X}(s)=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)s^{k-2}P_{X}\lbrace k\rbrace ,s\in [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }
E
(
X
(
X
−
1
)
)
{\displaystyle E(X(X-1))}
G
X
″
(
1
−
)
{\displaystyle G''_{X}(1-)}
E
(
X
(
X
−
1
)
)
=
G
X
″
(
s
)
{\displaystyle E(X(X-1))=G''_{X}(s)}
V
a
r
(
X
)
=
E
(
X
(
X
−
1
)
)
+
E
(
X
)
−
E
(
X
2
)
{\displaystyle Var(X)=E(X(X-1))+E(X)-E(X^{2})}
Sei
X
{\displaystyle X}
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
G
X
(
s
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
p
⋅
s
)
k
q
n
−
k
=
(
q
+
p
s
)
n
,
{\displaystyle G_{X}(s)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(p\cdot s)^{k}q^{n-k}=(q+ps)^{n},}
s
∈
R
{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
Ableitung an der Stelle 1 liefert:
G
X
′
(
1
)
=
n
(
q
+
p
s
)
n
−
1
⋅
p
|
s
=
1
=
n
p
=
E
(
X
)
{\displaystyle G'_{X}(1)=n(q+ps)^{n-1}\cdot p|_{s=1}=np=E(X)}
G
X
″
(
1
)
=
n
(
n
−
1
)
(
q
+
p
s
)
n
−
2
⋅
p
2
|
s
=
1
=
n
(
n
−
1
)
p
2
{\displaystyle G''_{X}(1)=n(n-1)(q+ps)^{n-2}\cdot p^{2}|_{s=1}=n(n-1)p^{2}}
→
V
a
r
(
X
)
=
n
(
n
−
1
)
p
2
+
n
p
−
(
n
p
)
2
=
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \to Var(X)=n(n-1)p^{2}+np-(np)^{2}=np(1-p)}
Seien
X
1
,
X
2
{\displaystyle X_{1},X_{2}}
B
(
n
1
,
p
)
{\displaystyle B(n_{1},p)}
B
(
n
2
,
p
)
{\displaystyle B(n_{2},p)}
G
X
1
+
X
2
(
s
)
=
G
X
1
(
s
)
⋅
G
X
2
(
s
)
=
(
q
+
p
s
)
n
1
+
n
2
{\displaystyle G_{X_{1}+X_{2}}(s)=G_{X_{1}}(s)\cdot G_{X_{2}}(s)=(q+ps)^{n_{1}+n_{2}}}
d.h.
P
X
1
+
X
2
{\displaystyle P_{X_{1}+X_{2}}}
B
(
n
2
+
n
2
,
p
)
{\displaystyle B(n_{2}+n_{2},p)}
B
(
n
1
,
p
)
∗
B
(
n
2
,
p
)
=
B
(
n
1
+
n
2
,
p
)
{\displaystyle B(n_{1},p)\ast B(n_{2},p)=B(n_{1}+n_{2},p)}
Ist
X
{\displaystyle X}
P
(
λ
)
{\displaystyle P(\lambda )}
G
X
(
s
)
=
∑
k
=
0
∞
(
λ
s
)
k
k
!
⋅
e
−
λ
=
e
λ
s
e
−
λ
=
e
λ
(
s
−
1
)
,
e
∈
R
.
{\displaystyle G_{X}(s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\lambda s)^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }=e^{\lambda s}e^{-\lambda }=e^{\lambda (s-1)},e\in \mathbb {R} .}
Ableitung an der Stelle 1:
G
X
′
(
1
)
=
λ
e
λ
(
s
−
1
)
|
s
=
1
=
λ
{\displaystyle G'_{X}(1)=\lambda e^{\lambda (s-1)}|_{s=1}=\lambda }
G
X
″
(
1
)
=
λ
2
e
λ
(
s
−
1
)
|
s
=
1
=
λ
2
{\displaystyle G''_{X}(1)=\lambda ^{2}e^{\lambda (s-1)}|_{s=1}=\lambda ^{2}}
V
a
r
(
X
)
=
λ
2
+
λ
−
λ
2
=
λ
{\displaystyle Var(X)=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda }
(Erwartungswert und Varianz jeweils gleich
λ
{\displaystyle \lambda }
Sind
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
P
(
λ
1
)
{\displaystyle P(\lambda _{1})}
P
(
λ
2
)
{\displaystyle P(\lambda _{2})}
G
X
1
+
X
2
(
s
)
=
e
(
λ
+
λ
2
)
(
s
−
1
)
{\displaystyle G_{X_{1}+X_{2}}(s)=e^{(\lambda _{+}\lambda _{2})(s-1)}}
d.h.
P
(
λ
1
)
∗
P
(
λ
2
)
=
P
(
λ
1
+
λ
2
)
{\displaystyle P(\lambda _{1})\ast P(\lambda _{2})=P(\lambda _{1}+\lambda _{2})}
Bearbeiten
(
(
N
B
(
n
,
p
)
)
,
n
∈
N
,
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle (NB(n,p)),n\in \mathbb {N} ,0\leq p\leq 1}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
p
k
=
(
n
+
k
−
1
k
)
⋅
p
n
⋅
q
k
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle p_{k}={\binom {n+k-1}{k}}\cdot p^{n}\cdot q^{k},k=0,1,...}
heißt negative Binominalverteilung. Man kann auch schreiben
p
k
=
(
−
n
k
)
(
−
1
)
k
p
n
q
k
,
{\displaystyle p_{k}={\binom {-n}{k}}(-1)^{k}p^{n}q^{k},}
wobei
(
r
k
)
=
(
r
)
k
k
!
,
r
∈
R
.
{\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},r\in \mathbb {R} .}
Bearbeiten
Im Spezialfall
n
=
1
{\displaystyle n=1}
P
k
=
q
⋅
p
k
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle P_{k}=q\cdot p^{k},k=0,1,...}
Zählt
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
N
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle NB(n,p)}
p
=
P
{
1
}
>
0
{\displaystyle p=P\lbrace 1\rbrace >0}
Bearbeiten
Man rechnet
G
X
(
s
)
=
(
p
1
−
p
s
)
n
,
0
≤
s
≤
1
q
{\displaystyle G_{X}(s)=({\frac {p}{1-ps}})^{n},0\leq s\leq {\frac {1}{q}}}
E
(
X
)
=
n
q
p
=
μ
,
V
a
r
(
X
)
=
n
q
p
2
σ
2
.
{\displaystyle E(X)=n{\frac {q}{p}}=\mu ,Var(X)=n{\frac {q}{p^{2}}}\sigma ^{2}.}
(
σ
2
=
μ
p
>
μ
{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\mu }{p}}>\mu }
Es gilt:
N
B
(
1
,
p
)
∗
.
.
.
∗
N
B
(
1
,
p
)
=
N
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle NB(1,p)\ast ...\ast NB(1,p)=NB(n,p)}
Grenzen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bearbeiten
Notation: Ist
(
p
0
,
p
1
,
.
.
.
)
{\displaystyle (p_{0},p_{1},...)}
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
p
k
>
0
,
∑
k
=
0
∞
p
k
=
1
{\displaystyle p_{k}>0,\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1}
G
(
s
)
=
∑
k
=
0
∞
s
k
p
k
,
0
≤
s
≤
1
{\displaystyle G(s)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}p_{k},0\leq s\leq 1}
(
p
0
(
n
)
,
p
1
(
n
)
,
.
.
.
)
,
n
≥
1
{\displaystyle (p_{0}^{(n)},p_{1}^{(n)},...),n\geq 1}
von Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
p
k
(
n
)
{\displaystyle p_{k}^{(n)}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
G
(
n
)
(
s
)
=
∑
k
=
0
∞
s
k
p
k
(
n
)
,
0
≤
s
≤
1
,
n
≥
1
{\displaystyle G^{(n)}(s)=\sum _{k=0}^{\infty }s^{k}p_{k}^{(n)},0\leq s\leq 1,n\geq 1}
konvergiert. Genauer:
Gegeben sei eine Folge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen aus
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
G
(
n
)
{\displaystyle G^{(n)}}
a
k
=
l
i
m
n
→
∞
p
k
(
n
)
{\displaystyle a_{k}=lim_{n\to \infty }p_{k}^{(n)}}
für alle
k
=
0
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle k=0,1,...}
A
(
s
)
=
l
i
m
n
→
∞
G
(
n
)
(
s
)
{\displaystyle A(s)=lim_{n\to \infty }G^{(n)}(s)}
für alle
s
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle s\in (0,1)}
A
(
s
)
=
∑
k
=
0
∞
s
k
a
k
.
{\displaystyle A(s)=\sum _{k=0}^{\infty }s^{k}a_{k}.}
Aus der ersten Formel folgt mit
a
k
>
0
{\displaystyle a_{k}>0}
∑
k
=
0
∞
a
k
≤
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\leq 1}
a
0
,
a
1
,
.
.
.
{\displaystyle a_{0},a_{1},...}
i) Wir nehmen
a
k
=
l
i
m
n
→
∞
p
k
(
n
)
{\displaystyle a_{k}=lim_{n\to \infty }p_{k}^{(n)}}
A
(
s
)
{\displaystyle A(s)}
A
(
s
)
=
∑
k
=
0
∞
s
k
a
k
{\displaystyle A(s)=\sum _{k=0}^{\infty }s^{k}a_{k}}
|
p
k
(
n
)
−
G
k
|
≤
1
{\displaystyle |p_{k}^{(n)}-G_{k}|\leq 1}
s
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle s\in (0,1)}
|
G
(
n
)
(
s
)
−
A
(
s
)
|
≤
∑
k
=
0
r
|
p
k
(
n
)
−
a
k
|
s
k
+
∑
k
=
r
+
1
∞
s
k
{\displaystyle |G^{(n)}(s)-A(s)|\leq \sum _{k=0}^{r}|p_{k}^{(n)}-a_{k}|s^{k}+\sum _{k=r+1}^{\infty }s^{k}}
Zu
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
r
{\displaystyle r}
s
r
1
−
s
<
ϵ
{\displaystyle {\frac {s^{r}}{1-s}}<\epsilon }
l
i
m
n
→
∞
|
G
(
n
)
(
s
)
−
A
(
s
)
|
≤
ϵ
{\displaystyle lim_{n\to \infty }|G^{(n)}(s)-A(s)|\leq \epsilon }
ii) Gelte nun die zweite Gleichung. Wir zeigen die erste sukzessive für
k
=
0
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle k=0,1,...}
Zunächst
k
=
0
{\displaystyle k=0}
p
0
(
n
)
≤
G
(
n
)
(
s
)
≤
p
0
(
n
)
+
∑
k
=
1
∞
1
s
k
=
p
0
(
n
)
+
s
1
−
s
,
s
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle p_{0}^{(n)}\leq G^{(n)}(s)\leq p_{0}^{(n)}+\sum _{k=1}^{\infty }1s^{k}=p_{0}^{(n)}+{\frac {s}{1-s}},s\in (0,1)}
Für jeden Häufungspunkt
p
¯
0
{\displaystyle {\bar {p}}_{0}}
p
0
(
n
)
,
n
≥
1
{\displaystyle p_{0}^{(n)},n\geq 1}
A
(
s
)
−
s
1
−
s
≤
p
¯
0
≤
A
(
s
)
,
{\displaystyle A(s)-{\frac {s}{1-s}}\leq {\bar {p}}_{0}\leq A(s),}
s
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle s\in (0,1)}
Wegen der Monotonie von
A
(
s
)
{\displaystyle A(s)}
A
(
0
)
=
l
i
m
s
→
0
A
(
s
)
,
{\displaystyle A(0)=lim_{s\to 0}A(s),}
s
↓
0
{\displaystyle s\downarrow 0}
(*)
p
¯
0
=
A
(
0
)
=
l
i
m
n
p
0
(
n
)
{\displaystyle {\bar {p}}_{0}=A(0)=lim_{n}p_{0}^{(n)}}
Zu
k
=
1
{\displaystyle k=1}
Aus der zweiten Gleichung folgt:
G
(
n
)
(
s
)
−
p
0
(
n
)
s
⇒
n
→
∞
A
(
s
)
−
A
(
0
)
s
{\displaystyle {\frac {G^{(n)}(s)-p_{0}^{(n)}}{s}}\Rightarrow ^{n\to \infty }{\frac {A(s)-A(0)}{s}}}
links: Potenzreihe mit
p
1
(
n
)
{\displaystyle p_{1}^{(n)}}
A
′
(
0
)
{\displaystyle A'(0)}
s
↓
0
{\displaystyle s\downarrow 0}
Analog zu
k
=
0
{\displaystyle k=0}
p
1
=
A
′
(
0
)
=
l
i
m
n
p
1
(
n
)
{\displaystyle p_{1}=A'(0)=lim_{n}p_{1}^{(n)}}
(Poissonverteilung als Grenzwert der negativen Binominalverteilung)
Nach der Definition lautet die erzeugende Funktion der
N
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle NB(n,p)}
(
1
−
q
1
−
s
q
)
n
{\displaystyle ({\frac {1-q}{1-sq}})^{n}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
p
=
p
n
→
1
{\displaystyle p=p_{n}\to 1}
Es gibt ein
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
n
q
n
→
λ
,
(
q
n
=
1
−
p
n
)
{\displaystyle nq_{n}\to \lambda ,(q_{n}=1-p_{n})}
N
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle NB(n,p)}
λ
n
=
n
⋅
q
n
→
λ
{\displaystyle \lambda _{n}=n\cdot q_{n}\to \lambda }
G
s
(
n
)
=
(
1
−
λ
n
n
1
−
λ
n
s
n
)
n
→
e
−
λ
e
λ
s
=
e
λ
(
s
−
1
)
≡
G
(
s
)
,
s
∈
R
{\displaystyle G_{s}^{(n)}=({\frac {1-{\frac {\lambda _{n}}{n}}}{1-{\frac {\lambda _{n}s}{n}}}})^{n}\to {\frac {e^{-\lambda }}{e^{\lambda s}}}=e^{\lambda (s-1)}\equiv G(s),s\in \mathbb {R} }
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
P
(
λ
)
{\displaystyle P(\lambda )}
(
n
+
k
−
1
k
)
p
n
n
q
n
k
→
e
−
λ
λ
n
k
!
,
{\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}p_{n}^{n}q_{n}^{k}\to e^{-\lambda }{\frac {\lambda _{n}}{k!}},}
k
=
0
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle k=0,1,...}
Für große
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
q
=
λ
n
{\displaystyle q={\frac {\lambda }{n}}}
Die Anwendung des Stetigkeitssatzes ist auf alle Fälle beschränkt, in denen die 'Grenzverteilung' die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Der wichtigste Fall ist dabei gerade der mit einer 'stetigen Grenzverteilung' (später), so dass wir dort einen anderen Stetigketissatz benötigen werden.
![{\displaystyle [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcb733c28b861d65fe2688403094e3f479c5a50)
![{\displaystyle s\in [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf91b17ec51a722ad6aef0a7ade329015d09b30)
![{\displaystyle G''_{X}(s)=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)s^{k-2}P_{X}\lbrace k\rbrace ,s\in [0,1]\setminus \lbrace 1\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7536ba4892515e993c3078c9645fabac3d4d99e)
