Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt

Es sei ${}a$ eine Primzahl und sei

${}F=X^{5}+a^{2}X^{4}-a\in \mathbb {Q} [X]\,.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Polynom ${}F$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$.
2. ${}F$ besitzt drei reelle Nullstellen und darüber hinaus zwei komplexe nichtreelle Nullstellen.
3. Die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers ${}\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ ist die Permutationsgruppe ${}S_{5}$.
4. Die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq Z(F)$ ist nicht auflösbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen