Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ergibt sich aus dem Kriterium von Eisenstein.
(2). Wir berechnen einige Funktionswerte von . Es ist

und schließlich

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die Ableitung von ist

und besitzt die beiden reellen Nullstellen und . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann somit nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen

(wegen der Irreduzibilität von über ) keine Nullstelle von , so dass keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben.
(3) und (4) folgen aus (1), (2) und Fakt.