Galoiskorrespondenz/Erzeugte Untergruppe/Körperdurchschnitt/Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ und es seien ${}H_{1},H_{2}\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern ${}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und ${}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})$. Zeige, dass der Durchschnitt ${}K_{1}\cap K_{2}$ gleich dem Fixkörper zu ${}H$ ist, wobei ${}H$ die von ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ erzeugte Untergruppe bezeichnet (das ist die kleinste Untergruppe von ${}G$, die sowohl ${}H_{1}$ als auch ${}H_{2}$ enthält).

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