Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dass ${}0$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus den ersten beiden Teilen der Definition der Addition.
2. Die Kommutativität der Addition beweisen wir mit einer Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Summanden nichtnegativ (natürliche Zahlen) oder negativ sind. Wenn beide Summanden aus ${}\mathbb {N}$ sind, ergibt sich dies unmittelbar aus der Kommutativität der Addition in den natürlichen Zahlen. Wenn ${}x=a$ aus ${}\mathbb {N}$ ist und ${}y=-b$ negativ ist, so muss man eine weitere Fallunterscheidung vornehmen. Bei ${}a\geq b$ ist

   ${}x+y=a+(-b)=a-b\,$

   nach dem (der ersten Hälfte des) zweiten Teil der Definition, und ebenso ist

   ${}y+x=(-b)+a=a-b\,$

   nach dem (der ersten Hälfte des) dritten Teils der Definition. Bei ${}a<b$ ist wiederum

   ${}x+y=a+(-b)=-(b-a)=(-b)+a=y+x\,$

   nach den Definitionen. Wenn beide Zahlen negativ sind ergibt sich die Kommutativität sofort aus dem vierten Teil der Definition.

3. Die Assoziativität nachzuweisen ist aufwändiger, da dann drei Zahlen ${}x,y,z$ ins Spiel kommen, für die es jeweils mehrere Fälle gibt. Wenn eine der beteiligten Zahlen aber ${}0$ ist, so ist die Aussage wegen der bewiesenen neutralen Eigenschaft der ${}0$ klar. Wir müssen also nur noch die acht Fälle (in denen selbst jeweils wiederum Fallunterscheidungen gemäß der Größenbeziehung der beteiligten Elemente nötig sind) durchgehen, je nachdem, ob ${}x,y,z$ positiv oder negativ sind. Wenn beispielsweise ${}x=a,y=-b,z=-c$ mit positiven Zahlen ${}a,b,c,$ ist, so ist

   ${}x+(y+z)=a+((-b)+(-c))=a+(-(b+c))\,.$

   Wenn ${}a\geq b+c$ ist, so ist dies ${}a-(b+c)$ (in ${}\mathbb {N}$), andernfalls ist dies ${}-((b+c)-a)$. Für die andere Klammerung ergibt sich

   ${}(x+y)+z=(a+(-b))+(-c)\,.$

   Bei ${}a\geq b+c$ ist einerseits

   ${}a\geq b\,$

   und andererseits

   ${}a-b\geq c\,.$

   Somit ist die zweite Klammerung in diesem Fall nach Aufgabe ebenfalls gleich

   ${}(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=a-(b+c)\,.$

   Bei ${}a<b+c$ unterscheiden wir die Fälle ${}a\geq b$ und ${}a<b$. Bei ${}a\geq b$ ist ${}c\geq a-b$ und daher ist unter Verwendung von Fakt  (3)

   ${}(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=-(c-(a-b))=-((c+b)-a)\,.$

   Bei ${}a<b$ ist erst recht ${}a<b+c$ und somit ist nach Fakt  (2)

   ${}(a+(-b))+(-c)=(-(b-a))+(-c)=-((b-a)+c))=-((c+b)-a)\,.$

   Für die anderen Fälle siehe Aufgabe.

4. Bei positivem ${}x$ hat ${}-x$ die Eigenschaft, dass die Summe

   ${}x+(-x)=0\,$

   ist, bei negativem ${}x$ mit ${}x=-a$ mit ${}a\in \mathbb {N}$ erfüllt ${}a$ die Eigenschaft.

Zur bewiesenen Aussage