Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt

Wir erweitern die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen zu einer Ordnung auf den ganzen Zahlen.

Definition

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation ${}\geq$.

1. Wenn ${}a,b\in \mathbb {N}$ ist, so ist

   ${}a\geq b\,$

   einfach die Ordnung auf ${}\mathbb {N}$.

2. Wenn ${}a\in \mathbb {N}$ ist und ${}b$ negativ, so ist

   ${}a\geq b\,.$

3. Wenn ${}a$ und ${}b$ beide negativ sind, so definiert man

   ${}a\geq b\,$

   durch

   ${}-b\geq -a\,$

   (innerhalb der natürlichen Zahlen).

Lemma

Die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. Die Ordnung ist eine totale Ordnung.
2. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}a\in \mathbb {N}$ ist.
3. Es ist ${}a\geq 0$ genau dann, wenn ${}-a\leq 0$ ist.
4. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}a-b\geq 0$ ist.
5. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$,
6. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}ac\geq bc$ für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Z}$ mit ${}c\geq 0$,
7. Es ist ${}a\geq b$ genau dann, wenn ${}-a\leq -b$ ist

Beweis

1. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.
2. Wenn ${}a\in \mathbb {N}$ ist, so folgt ${}a\geq 0$ unmittelbar aus der Definition. Wenn hingegen ${}a$ negativ ist, so ist nach dem zweiten Teil der Definition ${}0\geq a$ und Gleichheit ist wegen negativ ausgeschlossen.
3. Dies folgt direkt aus Teil (2) und der Definition der Negation.
4. Wegen (3) und da eine totale Ordnung vorliegt, müssen wir nur die Richtung von links nach rechts zeigen. Es sei also ${}a\geq b$. Bei ${}b\geq 0$ ist die Aussage klar, da dann die Differenz innerhalb der natürlichen Zahlen bleibt. Bei positivem ${}a$ und negativem ${}b$ ist die Aussage auch klar, seien also beide Zahlen negativ. Dann ist nach Definition ${}-b\geq -a$ (in ${}\mathbb {N}$) und das schon Bewiesene zeigt

   ${}-b-(-a)=-b+a\geq 0\,.$

5. Folgt aus (4), da

   ${}a+c-(b+c)=a-b\,$

   ist.

6. Folgt aus (4) und Fakt  (5).
7. Folgt aus (4) und (3).

$\Box$