Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Multiplikation/Einführung/Textabschnitt
Definition
Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen natürliche Zahlen). Es ist
Der letzte Teil passt gut zu der Eigenschaft der Negation, zu sich selbst invers zu sein. Die Negation kann man insbesondere als Multiplikation mit der auffassen. Dennoch sind
und
verschiedene Eigenschaften (Letzteres ist für eine Definition, und das Minuszeichen ist dabei das Vorzeichen, für beliebige ist es eine daraus folgende Eigenschaft der Multiplikation, und das Minuszeichen ist das Funktionszeichen).
Bemerkung
Wie schon bei den natürlichen Zahlen ist die Vorstellung für die Multiplikation von ganzen Zahlen schwieriger als für die Addition, da bei der Addition beide Summanden die gleiche Rolle spielen (zumindest in der wichtigsten Interpretationen), während dies bei der Multiplikation nicht der Fall ist. Man kann nicht drei Äpfel mal fünf Äpfel ausrechnen. Wie bei den natürlichen Zahlen beschreibt der eine Faktor die Vielfachheit, mit der ein Prozess durchgeführt, den der andere Faktor quantitativ misst. Man kann also dreimal jeweils fünf Äpfel von nach transportieren und transportiert dann insgesamt Äpfel von nach . Das gleiche erreicht man, wenn man fünfmal drei Äpfel von nach transportiert. Ebenso kann man -mal Äpfel in die andere Richtung von nach transportieren, und transportiert damit insgesamt Äpfel von nach . Ganze Zahlen (der Apfeltransport samt Richtung) mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren besitzt also eine passende natürliche Interpretation. Schwieriger ist es, wenn beide Zahlen negativ sind. Die Definition sagt, dass dann das Produkt der zugehörigen positiven Zahlen herauskommt. Dies kann man sich so vorstellen: Es sei ein reversibler Prozess, der gegenläufige Prozess sei mit bezeichnet. Für ist die -fache Ausführung von . Für negatives
interpretiert man dann als die -fache Ausführung des gegenläufigen Prozesses. Insbesondere ist
Multiplikation mit führt also auf den gegenläufigen Prozess, und von daher ist es einleuchtend, auch
zu setzen, da der gegenläufige Prozess zum gegenläufigen Prozess der Prozess selbst ist.
Auch von den gewünschten algebraischen Gesetzmäßigkeiten her ist die Festlegung sinnvoll. Es soll
gelten und es soll das Distributivgesetz gelten. Dann ist für und
Bei negativem ergibt sich daraus
Das Produkt muss also bei Addition mit Null ergeben, dies ist aber gerade die charakteristische Eigenschaft von . Also ist
Lemma
Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit als neutralem Element. Es gilt das Distributivgesetz.
Beweis
Die Kommutativität der Multiplikation und die Eigenschaft, dass das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis des Assoziativgesetzes stellt man zunächst fest, dass herauskommt, sobald ein Faktor ist. Die verbleibenden acht möglichen Fälle kann man einfach abhandeln, da das Vorzeichen des Produktes nur davon abhängt, wie viele Zahlen positiv und wie viele Zahlen negativ sind, siehe Aufgabe.
Zum Nachweis des Distributivgesetzes
können wir, indem wir bei negativem mit multiplizieren, annehmen, dass positiv ist (bei gilt die Gleichung sowieso). Wenn beide aus sind oder beide negativ, so ergibt sich die Gleichung unmittelbar. Es sei also aus und negativ. Bei ist nach Fakt auch
In diesem Fall ist somit nach Fakt
Bei ist nach Fakt auch
In diesem Fall ist somit wieder nach Fakt
