Ganzer Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern nulldimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {r}}:=\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$. Wir machen den Übergang

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}R_{\mathfrak {r}}=\kappa ({\mathfrak {r}})$

und betrachten die induzierte Abbildung

$\kappa ({\mathfrak {r}})=:K\longrightarrow (S/{\mathfrak {r}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {r}})}=:A,$

die ebenfalls ganz ist. Nach Fakt ist ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Faser von ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {r}}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper ${}K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei ${}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$ eine Inklusion von Primidealen aus ${}A$. Wir gehen zu ${}K\rightarrow A/{\mathfrak {p}}$ über. Somit ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Fakt ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ selbst ein Körper. Also ist

${}{\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage