Ganzheitring/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$. Gemäß der Konvention, dass ${}\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$ zu interpretieren ist, ist ${}0\in {\mathfrak {f}}$. Für zwei Elemente ${}f_{1},f_{2}\in Q(R)$ mit ${}\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$ gilt

${}\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$

und

${}\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

für ${}r\in R$, da ja ${}\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein ${}R$-Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ${}E$ ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass

${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$

ist, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Sei also ${}f\in Q(R)$ und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ sei ${}\geq E$. Dann ist ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0$ für jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ und dies bedeutet ${}f\in R_{\mathfrak {p}}$. Das heißt, dass ${}f$ zu jedem diskreten Bewertungsring zu jedem maximalen Ideal von ${}R$ gehört. Dies bedeutet aber nach Fakt, dass ${}f\in R$ ist.

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor ${}D$ ein ${}r\in R$ derart gibt, dass ${}D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Das zu ${}D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu ${}D$.

Zur bewiesenen Aussage