Es sei
.
Gemäß der Konvention, dass
zu interpretieren ist, ist
.
Für zwei Elemente
mit
gilt
-
und
-
für
,
da ja effektiv ist. Also liegt in der Tat ein -Modul vor.
Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ein effektiver Divisor. Wir haben zu zeigen, dass
-
ist, wobei die Inklusion klar ist. Es sei also
und angenommen, der zugehörige Hauptdivisor sei . Dann ist insbesondere effektiv. Die Effektivität bedeutet
für jedes von verschiedene Primideal und dies bedeutet
.
Das heißt, dass zu jedem
diskreten Bewertungsring
zu jedem maximalen Ideal von gehört. Dies bedeutet aber nach
Fakt,
dass
ist.
Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es zu jedem Divisor ein
derart gibt, dass
effektiv ist. Das zu gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu .