Ganzheitsring/Wurzel -5/Standardideal/Geometrisches Geradenbündel/Beispiel

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, in dem die Gleichheit

${}2\cdot 3=6=(1+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,$

gilt und darüber die ${}R$-Algebra

${}A=R[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\,$

mit der zugehörigen Spektrumsabbildung ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Wir behaupten, dass ein geometrisches Geradenbündel vorliegt, wofür wir die offene Überdeckung ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=D(2)\cup D(3)$ heranziehen. Es ist

${}A_{2}=R_{2}[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\cong R_{2}[S]\,$

mit ${}X\mapsto 2S$, ${}Y\mapsto (1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})S$ wegen ${}S=X/2$ und ${}X=2S$ und ${}Y={\frac {3}{1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}}X={\frac {1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{2}}X={\left(1+{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}\right)}S$ ein Isomorphismus. Ebenso ist

${}A_{3}=R_{3}[X,Y]/(3X-(1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})Y)\cong R_{3}[T]\,$

mit ${}X\mapsto (1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}})T$, ${}Y\mapsto 3T$ wegen ${}T=Y/3$ und ${}Y=3T$ und ${}X={\frac {1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{3}}Y={1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}|}T$ ein Isomorphismus. Auf ${}D(6)=D(2)\cap D(3)$ ist die Übergangsabbildung durch ${}S={\frac {X}{2}}={\frac {1-{\mathrm {i} }{\sqrt {5}}}{2}}T$ gegeben, also linear.