Ganzwertige Polynome/Q/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ heißt ganzwertig, wenn ${}P(n)\in \mathbb {Z}$ für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ gilt.

Funktionen aus der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, die die Dimension oder die Länge einer Reihe von algebraischen Objekten zählen, haben häufig für negative Argumente den Wert ${}0$, verhalten sich dann auf einem gewissen Bereich „chaotisch“ und verhalten sich für „große Argumente“ (ab einem bestimmten ${}n_{0}$) polynomial. Dies wird durch die folgende Definition ausgedrückt.

Definition

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ und ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ mit ${}f(n)=P(n)$ für alle ${}n\geq n_{0}$ gibt.

Wenn dabei ${}P$ den Grad ${}d$ besitzt, so sagt man auch, dass ${}f$ vom polynomialen Typ vom Grad ${}d$ ist. Polynomialer Typ vom Grad ${}0$ bedeutet letztlich konstant, polynomialer Typ vom Grad ${}1$ bedeutet letztlich linear.

Definition

Zu einer Funktion ${}f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ nennt man die durch

${}(\Delta f)(n):=f(n+1)-f(n)\,$

definierte Funktion die zugehörige Differenzfunktion.

Die Abbildung ${}\Delta$, die einer Funktion ihre Differenzfunktion zuordnet, heißt Differenzoperator. In gewisser Hinsicht ist der Differenzoperator analog zum Ableitungsoperator. Ein Polynom ist dadurch gekennzeichent, dass eine höhere Ableitung davon die Nullfunktion wird. Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für Funktionen vom polynomialen Typ.

Lemma

Sei ${}f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist von polynomialen Typ.
2. Die Differenzfunktion ${}\Delta f$ ist von polynomialen Typ.
3. Es gibt eine Iteration ${}\Delta ^{n}$ des Differenzoperators derart, dass ${}\Delta ^{n}f$ letztlich konstant ist.

Beweis

Polynom/Q/Ganzwertig/Differenzoperator/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}d$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}P(n)\in \mathbb {Z}$ für alle ${}n\in \mathbb {Z}$.
2. Es ist

   ${}P=\sum _{i=0}^{d}c_{i}{\binom {X+i}{i}}\,$

   mit ${}c_{i}\in \mathbb {Z}$.

Beweis

Polynom/Q/Ganzwertig/Binomialkoeffizienten/Fakt/Beweis

$\Box$

Korollar

Es sei ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ ein ganzwertiges Polynom vom Grad ${}d$ mit dem Leitkoeffizienten ${}\alpha _{d}$.

Dann ist ${}d!\cdot \alpha _{d}$ ganzzahlig.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

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