Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt

Wachstumsdominanz der Exponentialfunktion

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}b>1$ gegeben mit der zugehörigen Exponentialfunktion

$\varphi _{b}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto b^{n},$

zur Basis ${}b$. Es sei ${}k$ eine natürliche Zahl.

Dann gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq m$ die Abschätzung

${}\varphi _{b}(n)=b^{n}\geq n^{k}\,$

gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen