Wir zeigen die Existenz des
durch Induktion über
für jedes
.
Für
ist die Aussage klar. Sei
.
Wir schreiben
mit
und betrachten
(für
)
die auf
dem binomischen Lehrsatz
in Verbindung mit
beruhende Abschätzung
-
![{\displaystyle {}b^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu+{\binom {n}{2}}u^{2}=1+nu+{\frac {n(n-1)}{2}}u^{2}=1+nu+n{\frac {(n-1)}{2}}u^{2}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99af2171efcd0bee1fd65ec75c5b689823d9d61f)
Da
positiv ist, gibt es
nach Fakt
eine natürliche Zahl
mit
-
![{\displaystyle {}m{\frac {u^{2}}{2}}\geq 1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d9a925605f5ccdf8782ecc78710822fcfe305f)
Für
ist dann
-
![{\displaystyle {}b^{n}\geq n{\frac {(n-1)u^{2}}{2}}\geq n\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736c416290f0579e877a59ed61a3713ad46838be)
wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für
und alle
schon bewiesen, und wir müssen sie für
beweisen. Wir schreiben
mit Zahlen
-
![{\displaystyle {}c,d>1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd9513b8ad183087e49e4056f71f87717b264e6)
die es nach
Aufgabe
gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl
derart, dass für alle
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}c^{n}\geq n^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998c4750c9b97682018f524f52ad6946669d7698)
gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl
mit der Eigenschaft, dass für alle
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}d^{n}\geq n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61260d0e4e51a6600e54126582ce53a81b2e59df)
gilt. Damit gilt für alle
-
![{\displaystyle {}n\geq \operatorname {max} (m,m')\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8414ab75094abafc93deb2ca594b6e926d0a2e65)
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}b^{n}=(cd)^{n}=c^{d}d^{n}\geq n^{k}n=n^{k+1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb5cd92c42d8348cf692e54087e1b05f91929db)