Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass ${}f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von ${}a$ konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei

${}B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$

Mit Fakt ist dann

${}{\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

${}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich ${}0$. Dies gilt auch für jeden Radius ${}\leq r$, und daher ist überhaupt ${}\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von ${}a$. Aus Fakt ergibt sich, dass ${}f$ selbst in der Umgebung konstant ist.

Zur bewiesenen Aussage