Gebrochen-lineare Funktion/Kreisrand auf Kreisrand/Charakterisierung/Aufgabe/Lösung

Die Bedingung besagt

${}\vert {\frac {az+b}{cz+d}}\vert =1\,$

für alle ${}z$ mit ${}z=1$. Dies bedeutet insbesondere

${}{\begin{aligned}\vert {az+b}\vert ^{2}&={\left(az+b\right)}{\overline {az+b}}\\&=a{\overline {a}}+b{\overline {b}}+a{\overline {b}}z+{\overline {a}}b{\overline {z}}\\&=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}+c{\overline {d}}z+{\overline {c}}d{\overline {z}}\\&=\vert {cz+d}\vert ^{2}.\end{aligned}}$

Daraus folgt

${}a{\overline {a}}+b{\overline {b}}=c{\overline {c}}+d{\overline {d}}\,$

bzw.

${}\vert {a}\vert ^{2}+\vert {b}\vert ^{2}=\vert {c}\vert ^{2}+\vert {d}\vert ^{2}\,$

und

${}a{\overline {b}}=c{\overline {d}}\,$

(da die Funktionen ${}1,z,{\overline {z}}$ auf dem Rand linear unabhängig sind). Es ist ${}a\neq 0$, denn sonst wäre auch ${}c=0$ und es würde eine konstante Funktion vorliegen. Wir kürzen mit ${}a^{-1}$, das ändert nach Fakt die gebrochen lineare Funktion nicht, und bleiben bei der Bezeichnung für die drei anderen Koeffizienten. Mit ${}r=\vert {b}\vert ^{2}$, ${}s=\vert {c}\vert ^{2}$, ${}t=\vert {d}\vert ^{2}$ haben wir die Bedingungen

${}1+r=s+t\,$

und

${}r=st\,,$

also

${}1+st=s+t\,$

bzw.

${}(1-s)(1-t)=0\,.$

Daraus folgt ${}s=1$ (und ${}t=r$) oder ${}t=1$ (und ${}s=r$). Betrachten wir den Fall ${}s=1$, dann ist der Betrag von ${}c$ gleich ${}1$. Durch Multiplikation mit ${}c$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

$c\cdot {\frac {z+b}{z+d}}$

besitzt. Die Bedingung wird dann zu ${}b=d$, und es liegt eine konstante, also keine gebrochen lineare Funktion vor. Betrachten wir den Fall ${}t=1$, dann ist der Betrag von ${}d$ gleich ${}1$. Durch Multiplikation mit ${}d$ können wir davon ausgehen, dass die Abbildung die Form

$d\cdot {\frac {z+b}{cz+1}}$

besitzt. Die Bedingung wird dann zu

${}b={\overline {c}}\,,$

die Abbildung hat also die Form

$\alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}$

mit einer komplexen Zahl ${}\alpha$ vom Betrag ${}1$. Bei

${}\vert {\beta }\vert =1\,$

kann man das ${}\beta$ vorziehen und erhält dann wieder eine konstante Funktion.

Zur gelösten Aufgabe