Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt/Beweis

Beweis

Die auf das Teilchen wirkende tangentiale Kraft ist gleich

$-g{\frac {f'(x)}{1+f'(x)^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\-f'(x)\end{pmatrix}}.$

Die durch die Kraft bewirkte Bewegung (eines Teilchens) auf dem Graphen setzen wir als

${}h(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\f(x(t))\end{pmatrix}}\,$

an, wobei das Entscheidende in der ersten Komponente geschieht. Wir müssen die zum Graphen tangentiale Kraft, die die tangentiale Beschleunigung bewirkt, mit der tangentialen Beschleunigung der gesuchten Bewegungskurve ${}h(t)$ gleichsetzen. Es ist

${}h'(t)={\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\,$

und

${}h^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}x^{\prime \prime }(t)\\f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist nach Fakt die tangentiale Beschleunigung gleich

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}h'(t)\\&={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x^{\prime \prime }(t)\\f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\end{pmatrix}}\right\rangle }{\left\langle {\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\right\rangle }}{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}}\\&={\frac {x'(t)x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t))x'(t){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}(x'(t))^{2}}}{\begin{pmatrix}x'(t)\\f'(x(t))x'(t)\end{pmatrix}},\,\end{aligned}}$

und dies ist mit der tangentialen Kraftkomponente gleichzusetzen, also mit

$-g{\frac {f'(x(t))}{1+f'(x(t))^{2}}}{\begin{pmatrix}1\\-f'(x(t))\end{pmatrix}}.$

In der ersten Komponente führt dies auf

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {x'(t)x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t))x'(t){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{x'(t)^{2}+f'(x(t))^{2}(x'(t))^{2}}}x'(t)\\&={\frac {x^{\prime \prime }(t)+f'(x(t)){\left(f'(x(t))x^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\right)}}{1+f'(x(t))^{2}}}\\&={\frac {x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}+f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\\&=-g{\frac {f'(x(t))}{1+f'(x(t))^{2}}}.\,\end{aligned}}$

Also ist

${}x^{\prime \prime }(t){\left(1+f'(x(t))^{2}\right)}=-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}\,$

und damit

${}x^{\prime \prime }(t)={\frac {-gf'(x(t))-f'(x(t))f^{\prime \prime }(x(t))(x'(t))^{2}}{1+f'(x(t))^{2}}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage