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Geometrische Reihe/C/1 durch 3-i/Aufgabe/Lösung
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Geometrische Reihe/C/1 durch 3-i/Aufgabe
Nach
Fakt
ist
∑
k
=
0
∞
1
(
3
−
i
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
1
3
−
i
)
k
=
1
1
−
1
3
−
i
=
3
−
i
3
−
i
−
1
=
3
−
i
2
−
i
=
(
3
−
i
)
(
2
+
i
)
(
2
−
i
)
(
2
+
i
)
=
7
+
i
5
=
7
5
+
1
5
i
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3-{\mathrm {i} })^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3-{\mathrm {i} }}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{1-{\frac {1}{3-{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {3-{\mathrm {i} }}{3-{\mathrm {i} }-1}}\\&={\frac {3-{\mathrm {i} }}{2-{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(3-{\mathrm {i} })(2+{\mathrm {i} })}{(2-{\mathrm {i} })(2+{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {7+{\mathrm {i} }}{5}}\\&={\frac {7}{5}}+{\frac {1}{5}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe