Geometrisches Vektorbündel/Addition/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein Vektorbündel über ${}X$. Zeige, dass die Addition ${}\alpha \colon V\times _{X}V\rightarrow V$ die folgenden Eigenschaften besitzt (es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren).

1. Das Diagramm

   ${\begin{matrix}V&{\stackrel {\operatorname {Id} \times (N\circ p)}{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \searrow &\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\&&\!\!\!\!\!V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert, wobei ${}N\colon X\rightarrow V$ den Nullschnitt bezeichnet.

2. Das Diagramm

   ${\begin{matrix}V\times _{X}V&{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\alpha \searrow &\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\&&V&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert, wobei ${}\pi$ die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet.

3. Das Diagramm

   ${\begin{matrix}V\times _{X}V\times _{X}V&{\stackrel {\alpha \times \operatorname {Id} }{\longrightarrow }}&V\times _{X}V&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} \times \alpha \downarrow &&\downarrow \alpha \!\!\!\!\!&\\V\times _{X}V&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

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