Gerade/Parabel/Schnittmultiplizität/Einheit/Aufgabe

Wir betrachten die beiden Kurven ${}C=V(Y)$ und ${}D=V(Y-X^{2})$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass der affine Koordinatenring von ${}C$ und auch der von ${}D$ in natürlicher Weise gleich ${}K[X]$ ist.
2. Bestimme die ${}K$-Dimension des Restklassenringes ${}R=K[X,Y]/(Y,Y-X^{2})$, der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt.
3. Zeige, dass es Einheiten in ${}R$ gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren.

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