Gerade/Parabel/Schnittmultiplizität/Einheit/Aufgabe/Lösung

1. Für ${}C$ ist der Koordinatenring unmittelbar gleich ${}K[X,Y]/(Y)\cong K[X]$. Für ${}D$ betrachten wir den Ringhomomorphismus ${}K[X,Y]\rightarrow K[X]$, der ${}X$ auf ${}X$ und ${}Y$ auf ${}X^{2}$ schickt. Der Kern ist dabei ${}(Y-X^{2})$ und smoit induziert dies eine Isomorphie ${}K[X,Y]/(Y-X^{2})\cong K[X]$.
2. Es ist

   ${}R=K[X,Y]/(Y,Y-X^{2})\cong K[X]/(X^{2})\,$

   mit der ${}K$-Basis ${}1,X$, die Dimension ist also ${}2$.

3. Wegen ${}(1+X)(1-X)=1-X^{2}=1$ in ${}R$ ist ${}1+X$ eine Einheit. Die Einheiten in den Koordinatenringen sind aber nur die Konstanten ${}\neq 0$ aus ${}K$, deren Produkte ergeben nur die Konstanten.

Zur gelösten Aufgabe