Gewöhnliche Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/Durchführung/Bemerkung

Es sei ein Anfangswertproblem

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(0)=(c_{1},\ldots ,c_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

zu einem Vektorfeld

$F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

gegeben, wobei die Komponentenfunktionen ${}F_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, polynomial (oder durch Potenzreihen gegeben) seien. Dann lässt sich ein Potenzreihenansatz für die Lösung durchführen. Das bedeutet, dass man den Ansatz ${}x_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{ki}t^{k}$ mit unbestimmten Koeffizienten ${}a_{ki}$ macht, und diese Koeffizienten (bis zu einem gewünschten Grad) aus den ${}n$ Gleichungen

${}x'_{i}(t)=F_{i}(t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))\,$

sukzessive bestimmt. Die Anfangsbedingungen

${}x_{i}(0)=a_{0i}=c_{i}\,$

legen dabei die konstanten Koeffizienten der Potenzreihen fest. In das Differentialgleichungssystem werden die Potenzreihen links und rechts eingesetzt und ausgewertet, wobei die Ableitung links formal zu nehmen ist und rechts die Reihen formal zu addieren und zu multiplizieren sind. Dies ergibt Gleichungen für Potenzreihen in ${}t$, die durch Koeffizientenvergleich, beginnend mit den Koeffizienten von kleinem Grad, gelöst werden können.