Gitter/Basis/Übergang/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}M$ und ${}N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

${}M\circ N=E_{n}\,$

und

${}\det M\cdot \det N=1\,$

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus ${}v_{j}\in \Delta$, dass in

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

die Koeffizienten ${}c_{ij}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten ${}1$ oder ${}-1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in ${}\mathbb {Z}$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

${}\Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Gamma \,$

und damit Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage