Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann heißt

${}G_{k}(\Gamma ):=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\,$

die Eisensteinreihe zum Gitter ${}\Gamma$ und zum Gewicht ${}k$.

Lemma

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}$. Dann erfüllen die Eisensteinreihen folgende Eigenschaften.

1. Die Eisensteinreihen ${}G_{k}(\Gamma )$ sind für ${}k\geq 3$ absolut konvergent.
2. Bei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle$ ist

   ${}G_{k}(\Gamma )=\sum _{n,m\in \mathbb {Z} ,(n,m)\neq (0,0)}{\frac {1}{{\left(nu+mv\right)}^{k}}}\,.$

3. Für ungerades ${}k\geq 3$ ist

   ${}G_{k}(\Gamma )=0\,.$

4. Für ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$ ist

   ${}G_{k}(s\Gamma )=s^{-k}G_{k}(\Gamma )\,.$

Beweis

1. Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
2. Das ist klar.
3. Es sei ${}k$ ungerade. Auf ${}\Gamma '$ ist durch die Punktsymmetrie eine Äquivalenzrelation gegeben, bei der jedes ${}z$ mit sich und mit ${}-z$ äquivalent ist. Wir summieren gemäß diesen Äquivalenzklassen und erhalten

   ${}{\begin{aligned}G_{k}(\Gamma )&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}+{\frac {1}{(-z)^{k}}}\right)}\\&=\sum _{[z]\in \Gamma '/\pm }{\left({\frac {1}{z^{k}}}-{\frac {1}{z^{k}}}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

4. Es ist

   ${}{\begin{aligned}G_{k}(s\Gamma )&=\sum _{w\in (s\Gamma )'}{\frac {1}{w^{k}}}\\&=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{(sz)^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\\&={\frac {1}{s^{k}}}G_{k}(\Gamma ).\end{aligned}}$

$\Box$

Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in Fakt  (4) beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form ${}1,\tau$ mit ${}\tau \in {\mathbb {H} }$ ist

${}G_{k}(\Gamma )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}\,,$

insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter ${}\tau$ und damit als Funktion auf ${}{\mathbb {H} }$ auffassen.