Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktion/Gesamtordnung mal Punkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$. Es sei ${}\gamma$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Umrandung von ${}P+{\mathfrak {M}}$ mit den linearen Teilwegen wie im Beweis zu Fakt. Wir betrachten die Funktion ${}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}$ auf ${}P+{\mathfrak {M}}$. Nach Fakt und dem Residuensatz ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w\\&=\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {Res} _{w}\left({\frac {zf'(z)}{f(z)}}\right)\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left(\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{1}+v_{2}}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\right)}.\,\end{aligned}}$

Wir verarbeiten das zweite und das vierte Integral, indem wir auf das zweite Integral die lineare Substitution ${}z\mapsto z+v_{1}$ anwenden. Dabei erhalten wir unter Verwendung der Periodizität und der Umkehrung des Weges

${}{\begin{aligned}\int _{P+v_{1}}^{P+v_{1}+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z+v_{1})}{f(z+v_{1})}}dz+\int _{P+v_{2}}^{P}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {(z+v_{1})f'(z)}{f(z)}}dz-\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {zf'(z)}{f(z)}}dz\\&=v_{1}\int _{P}^{P+v_{2}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz.\end{aligned}}$

Entsprechend ergibt das erste und das dritte Integral ${}-v_{2}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$. Nach Fakt ist ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{P}^{P+v_{1}}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz$ ganzzahlig. Daher ist ${}\sum _{w\in P+{\mathfrak {M}}}\operatorname {ord} _{w}{\left(f\right)}\cdot w$ eine ganzzahlige Kombination von ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$, gehört also zum Gitter.

Zur bewiesenen Aussage