Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion eine rationale Funktion in ist.

Es sei , die zugehörige Fundamentalmasche und . Es seien die Punkte in , in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion

wobei die Ordnung von in ist, es sei denn, dass ist, in diesem Fall ist die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von in . Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie , da in die Ordnung besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte mit , wo die Ordnung ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist , da nach Konstruktion dazugehört.