Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2), (3). Nach Fakt können wir ${}s\Gamma _{1}$ durch ${}\Gamma _{1}$ ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Fakt und Fakt. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Es sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{1}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Der Kern dieser Abbildung umfasst ${}\Gamma _{1}$. Nach Fakt besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung

${\mathbb {C} }{\stackrel {\cdot s}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }{\stackrel {\pi _{2}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

mit einer komplexen Zahl ${}s$. Somit gilt ${}s\cdot \Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$ und wegen der Nichtkonstanz ist ${}s\neq 0$.

Zur bewiesenen Aussage