Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Beweis

Für die Summanden in der Weierstraßschen ${}\wp$-Funktion gilt unter der Bedingung ${}\vert {z}\vert <\vert {w}\vert$ nach der Ableitung von Fakt die Gleichung

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}&={\frac {1}{w^{2}}}{\left({\frac {1}{(1-{\frac {z}{w}})^{2}}}-1\right)}\\&={\frac {1}{w^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\frac {z^{n}}{w^{n+2}}}.\end{aligned}}$

Somit gilt für alle ${}z$, die betragsmäßig kleiner als alle Gitterpunkte ${}\neq 0$ sind, die Beschreibung

${}{\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right)}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma '}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\frac {z^{n}}{w^{n+2}}}\right)}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\left(\sum _{w\in \Gamma '}{\frac {1}{w^{n+2}}}\right)}z^{n}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)G_{n+2}(\Gamma )z^{n}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}(\Gamma )z^{2k},\end{aligned}}$

da nach Fakt  (2) die Eisenstein-Werte zu ungeradem Index ${}0$ sind.

Zur bewiesenen Aussage