Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

Hier steht für fest im Zähler ein Polynom vom Grad in und im Nenner ein Polynom vom Grad in . Deshalb kann man den Betrag dieser Summanden für hinreichend groß durch ein Vielfaches von nach oben abschätzen, und die Summe konvergiert.

Für ist der Ausdruck nicht wohldefiniert. Es ist aber

und dieser Ausdruck ist stetig in . Deshalb hat einen Pol der Ordnung in den Gitterpunkten.

Die Ableitung der Weierstraßschen -Funktion ist nach Fakt elliptisch. Für selbst sei ein Erzeuger des Gitters, und insbesondere . Dann ist

und ist konstant. Für ist der Wert dieser Funktion gleich