Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}{\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}={\frac {v^{2}-(z-v)^{2}}{(z-v)^{2}v^{2}}}={\frac {-z^{2}+2zv}{(z-v)^{2}v^{2}}}\,.$

Hier steht für ${}z$ fest im Zähler ein Polynom vom Grad ${}1$ in ${}v$ und im Nenner ein Polynom vom Grad ${}4$ in ${}v$. Deshalb kann man den Betrag dieser Summanden für ${}v\in \Gamma$ hinreichend groß durch ein Vielfaches von ${}{\frac {1}{\vert {v}\vert ^{3}}}$ nach oben abschätzen, und die Summe konvergiert.

Für ${}z_{0}\in \Gamma$ ist der Ausdruck nicht wohldefiniert. Es ist aber

${}{\begin{aligned}\wp (z)-{\frac {1}{(z-z_{0})^{2}}}&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)}-{\frac {1}{(z-z_{0})^{2}}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma ',\,v\neq z_{0}}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)}-{\frac {1}{z_{0}^{2}}},\end{aligned}}$

und dieser Ausdruck ist stetig in ${}z_{0}$. Deshalb hat ${}\wp (z)$ einen Pol der Ordnung ${}2$ in den Gitterpunkten.

Die Ableitung der Weierstraßschen ${}\wp$-Funktion ist nach Fakt elliptisch. Für ${}\wp (z)$ selbst sei ${}v_{0}$ ein Erzeuger des Gitters, und insbesondere ${}v_{0}/2\notin \Gamma$. Dann ist

${\frac {\partial \wp (z+v_{0})-\wp (z)}{\partial z}}=-2{\left(\sum _{v\in \Gamma }(z+v_{0}-v)^{-3}-\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}\right)}=0\,$

und ${}\wp (z+v_{0})-\wp (z)$ ist konstant. Für ${}z=-{\frac {v_{0}}{2}}$ ist der Wert dieser Funktion gleich

${}\wp (-{\frac {v_{0}}{2}}+v_{0})-\wp (-{\frac {v_{0}}{2}})=\wp ({\frac {v_{0}}{2}})-\wp (-{\frac {v_{0}}{2}})=0\,.$

Zur bewiesenen Aussage