Glatte Varietäten/C/Endlich und etale/Überlagerung/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der vorausgesetzten Glattheit sind die Garben der Differentialformen ${}\Omega _{Y}$ und ${}\Omega _{X}$ lokal frei, und ihr Rang ist gleich der (wegen der Flachheit und Endlichkeit gemeinsamen) Dimension von ${}Y$ und ${}X$. Wir betrachten auf ${}Y$ die exakte Sequenz

$\varphi ^{*}\Omega _{X}\longrightarrow \Omega _{Y}\longrightarrow \Omega _{Y{|}X}\longrightarrow 0.$

Wegen étale ist dabei ${}\Omega _{Y{|}X}=0$, sodass ein surjektiver Garbenhomomorphismus ${}\varphi ^{*}\Omega _{X}\rightarrow \Omega _{Y}$ vorliegt. Da beide Garben lokal frei sind und denselben Rang besitzen, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es folgt durch Dualisieren, dass auch die Tangentialabbildung

${\mathcal {T}}(\varphi )\colon {\mathcal {T}}_{Y}\longrightarrow \varphi ^{*}{\mathcal {T}}_{X}$

ein Isomorphismus ist.

Wir gehen nun zu den zugehörigen komplexen Mannigfaltigkeiten ${}Y_{\mathbb {C} }$ und ${}X_{\mathbb {C} }$ über. Nach der Überlegung von eben ist insbesondere für jeden Punkt ${}y\in Y_{\mathbb {C} }$ die Tangentialabbildung

$T_{Y,y}\longrightarrow T_{X,\varphi (y)}$

ein Vektorraum-Isomorphismus, und dieser wird auf geeigneten Karten durch das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{y}$ beschrieben. Nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es daher eine offene Umgebung (in der komplexen Topologie) von ${}y$, die unter ${}\varphi _{\mathbb {C} }$ eine Diffeomorphie mit einer offenen Umgebung von ${}\varphi (y)$ induziert. D.h., dass ein lokaler Homöomorphismus vorliegt. Da ${}\varphi$ endlich ist, ist ${}\varphi$ auch eigentlich und daher ist ${}\varphi _{\mathbb {C} }$ auch eigentlich im Sinne der Topologie, d.h. Urbilder von kompakten Mengen sind wieder kompakt. Daraus folgt insgesamt, dass ${}\varphi _{\mathbb {C} }$ eine Überlagerung mit endlichen Fasern ist.

Zur bewiesenen Aussage